2013年高考数学一轮复习_第九篇_解析几何_第8讲_直线与圆锥曲线的位置关系教案_理_新人教版.doc

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1、直线与圆锥曲线的位置关系考向一　直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)．A.B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析　由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，∴当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，∴－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1.答案　C【训练1】若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，

2、则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)．A．至多为1B．2C．1D．0解析　由题意知：＞2，即＜2，∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案　B考向二　弦长及中点弦问题【例2】►若直线l与椭圆C：＋y2＝1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．[审题视点]联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)当AB⊥x轴时，

3、AB

4、＝；(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知，得＝，即m2＝(k2＋1)

5、．把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.∴x1＋x2＝，x1x2＝.∴

6、AB

7、2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)·＝＝＝3＋.当k≠0时，上式＝3＋≤3＋＝4，当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．此时

8、AB

9、＝2；当k＝0时，

10、AB

11、＝，综上所述

12、AB

13、max＝2.∴当

14、AB

15、最大时，△AOB面积取最大值Smax＝×

16、AB

17、max×＝.【训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．解　法一　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并

18、作差得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而＝－1，＝koc＝，代入上式可得b＝a.再由

19、AB

20、＝

21、x2－x1

22、＝

23、x2－x1

24、＝2，其中x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，故2－4·＝4，将b＝a代入得a＝，∴b＝.∴所求椭圆的方程是＋＝1.考向三　圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．(1)求过点O、F，并且与直线l：x＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取

25、值范围．解　(1)∵a2＝2，b2＝1，∴c＝1，F(－1,0)，∵圆过点O，F，∴圆心M在直线x＝－上．设M，则圆半径r＝＝，由

26、OM

27、＝r，得＝，解得t＝±，∴所求圆的方程为2＋(y±)2＝.(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.∵直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，∴方程有两个不等实根．如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，∴AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．令y＝0，

28、得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋，∵k≠0，∴－＜xG＜0，∴点G横坐标的取值范围为.【训练3】(2012·金华模拟)已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是时，＝4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．解　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴又∵＝4，∴y2＝4y1，③由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y.(2)设l：y＝

29、k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x2－4kx－16k＝0，④∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.∴b∈(2，＋∞)．考向四　定值(定点)问题【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A(－1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于