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1、.函数的奇偶性的典型例题函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查f(x)是否与f(x)、f(x)相等，判断步骤如下：①、定义域是否关于原点对称；②、数量关系f(x)f(x)哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性342⑴、f(x)x2x⑵、f(x)2x3x32xx2⑶、f(x)⑷、f(x)xx1,2x122⑸、f(x)x22x⑹、f(x)x11x解：⑴为奇函数⑵为偶函数⑶为非奇非偶函数⑷为非奇非偶函数⑸为非奇非偶函数⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程
2、中对定义域的判断忽略了。2x(x0)例2：判断函数f(x)的奇偶性。2x(x0)2解:f(0)0f(x)22当x0,即x0时,有f(x)(x)xf(x)22当x0,即x0时,有f(x)(x)(x)f(x)总有f(x)f(x),故f(x)为奇函数.第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇
3、偶性的几个命题的判定。命题1函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分..条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定
4、义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。命题3f(x)是任意函数，那么
5、f(x)
6、与f(
7、x
8、)都是偶函数。f(x),(f(x)0此命题错误。一方面，对于函数
9、f(x)
10、=不能保证f(-x)=f(x)或f(x),(f(x)0),f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(
11、x
12、)是偶函数。命题4如果函数f(x)满足：
13、f(x)
14、=
15、
16、f(-x)
17、，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。x,(x2n,nN)此命题错误。如函数f(x)=从图像上看，f(x)的图像既不关于原点2x,(x2n1,nN)对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。命题5函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。此命题正确。由函数奇偶性易证。命题6已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在
18、实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征..例1：已知偶函数yf(x)在y轴右则时的图像如图（一）试画出函数y轴右则的图像。YY11120X-2-112X图（一）图（二）七、
19、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值53例1：已知f(x)xaxbx8且f(2)10，那么f(2)2、利用奇偶性比较大小例2：已知偶函数f(x)在,0上为减函数，比较f(5)，f(1)，f(3)的大小。3.利用奇偶性求解析式例3：已知f(x)为偶函数当0x1时,f(x)1x,当1x0时，求f(x)的解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性2例4：若f(x)(k2)x(k3)x3是偶函数，讨论函数f(x)的单调区间？5、利用奇偶性判断函数的奇偶性3232例5：已知函数f(x)axbxcx(a0)是偶函数，判断g
20、(x)axbxcx的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值22例6：定义在R上的偶函数f(x)在(,0)是单调递减，若f(2aa1)f(3a2a1)，则a的取值范围是如何？7、利用图像解题..例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式fx0的解是.8.利用定义解题1例8.已知函
