资源描述：
《函数的间断点.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.函数间断点求法两个基本步骤1、间断点（不连续点）的判断在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。下面我们一起看一下教材上间断点的定义：2、间断点类型的判断找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限情况来划分：（1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种：①可去间断点：左右极限存在且相等；②跳跃间断点：左右极限存在但不相等．（2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点：①无穷间断点：在间断点的极限为无穷
2、大．..②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在．?间断点：是f(x)的间断点，f(x)在点处的左右极限都存在为第一类间断点.f(x)至少有一个不存在，则是f(x)的第二类间断点.第一类间断点中第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法：函数的间断点一、函数的间断点设函数fx在点x0的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数fx有下列三种情形之一：1．在xx0没有定义；..2．虽在xx0有定义，但limfx不存在；xx03．虽在xx0有定义，且limfx存在，但limf
3、xfx0；xx0xx0则函数fx在点x0为不连续，而点x0称为函数fx的不连续点或间断点．下面我们来观察下述几个函数的曲线在x1点的情况，给出间断点的分类：yx1x21①②y1xyy221111x11x在x1连续．在x1间断，x1极限为2．③yx1，x1④yx1，x11，x1x，x1yy221111x11x在x1间断，x1极限为2．在x1间断，x1左极限为2，右极限为1．11⑤y⑥ysinx1xy1x在x0间断，x0极限不存在．1像②③④这样在x0点左右极限都存在在x1间断，。的间断，称为第一类间断，其中极限
4、存在的limx1x1②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令y12，则在x1函数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，..而⑥称作震荡间断．就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果x0是函数fx的间断点，但左极限fx00及右极限fx00都存在，那么x0称为函数fx的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．sinx,x0
5、xf(x)a,x0xsin1b,x00例1确定a、b使x在x处连续．解：f(x)在x0处连续limf(x)limf(x)f(0)x0x0limf(x)limxsin1bblimf(x)limsinx1xx因为x0x0；x0x0；f(0)a所以ab1时，f(x)在x0处连续．例2求下列函数的间断点并进行分类f(x)x211、x1分析：函数在x1处没有定义，所以考察该点的极限．limx21lim(x1)2，但f(x)在x1解：因为x1x1x1处没有定义所以x1是第一类可去间断点．f(x)xsin1,x0,x2、1
6、,x0.分析：x0是分段函数的分段点，考察该点的极限．解：因为limxsin10x0x，而f(0)1所以x0是第一类可去间断点．limf(x)总结：只要改变或重新定义f(x)在x0处的值，使它等于xx0，就可使函数在可去间断点x0处连续．f(x)x1,x0,x1,x0.3、分析：x0是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右..极限．limf(x)lim(x1)1limf(x)lim(x1)1解：因为x0x0；x0x0所以x0是第一类跳跃间断点．1f(x)arctan4、x分析：函数在x
7、0处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．limf(x)lim1limf(x)lim1arctanarctan2解：因为x0x0x2；x0x0x所以x0是第一类跳跃间断点．15、f(x)ex1解：因为limf(x)limexx0x0所以x0是第二类无穷间断点1f(x)sin6、xlimf(x)limsin1解：x0x0x极限不存在所以x0是第二类振荡间断点f(x)xsinx的间断点，并将其分类．7、求解：间断点：xk(k0,1,2,)x1当x0lim0时，因x0sinx，故x是可去间断点．lim
8、x当xk(k1,2,sinx，故xk(k1,2,)是无穷)时，因xk间断点．小结与思考：本节介绍了函数的连续性，间断点的分类．f(x)lim1x1x2n1、求n分析：通过极限运算，得到一个关于x的函数，找出分段点，判断．..x1,1x1f(x)0,x11,x10,x1.limf(x)lim00limf(x)lim(x1)2解：因为x1x1；x1x1所以x1是第一类跳跃间断点limf(x)lim(x1
