2008年清华北大自主招生数学试题.docx

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1、.2008清华1、已知a、b、c都是有理数，abc也是有理数，证明：a,b,c都是有理数。2、（1）一个四面体，证明：至少存在一个定点。从其出发的三条棱组成一个三角形。（2）四面体一个顶点的三个角，分别是90',60',arctan2，求那个60'的面和arctan2的面所成的二面角3、求正整数区间[m,n](n>m)中，不能被3整除的数之和。4、sincos1sin2，求取值范围5、limf(x)f(0)1,f(2x)f(x)x2，求f(x)x06、证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。

2、2008北大数学1．求证边长为1的正五边形对角线长为5122已知六边形AC1BA1CB1中AC1AB1，BC1BA1，CA1CB1，∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1求证ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半3已知a1a2a3b1b2b3，a1a2a2a3a3a1b1b2b2b3b3b1min{a1,a2,a3}min{b1,b2,b3}求证max{a1,a2,a3}max{b1,b2,b3}4排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0

3、分）5（理科）5（理科）xyzo坐标系内xoy平面系内0y2x2绕y轴旋转一周构成一个不透光立体在点(1,0,1)设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆c被光照到的长度为2求c上未被照到的长度.