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1、第五节积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分（第一型）对坐标的曲线积分（第二型）对面积的曲面积分（第一型）对坐标的曲面积分（第二型）曲面积分曲线积分与曲面积分第五节一、第一型线积分的概念与性质三、第一型面积分的概念与性质第一型线积分与面积分二、第一型线积分的计算四、第一型面积分的计算作业习题6.51（奇数),2,3，4,5,10(奇数),11,13254一、第一型线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“分,匀,合,精”可得为计算此构件的质量,1.引例:曲线形构件
2、的质量采用设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,都存在,上对弧长的线积分,记作若通过对的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一型线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对454如果L是xoy面上的曲线弧,如果L是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.3.性质（k为常数)(由组成)(l为曲线弧的长度)654二、第一型线积分的计算基本思
3、路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义点设各分点对应参数为对应参数为则854说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.因此如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则1054例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解:建立坐标系如图,则1254例3.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得例4.计算曲
4、线积分其中为螺旋的一段弧.解:线1454例5.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知思考:例5中改为计算解:令,则圆的形心在原点,故,如何1654例6.计算其中为球面解:化为参数方程则例7.有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.三、第一型面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质“分,匀,合,精”的方法,量M.其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z
5、)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一型面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面曲面的面积元素：设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,(称为面积元素)则2254定理:设有光滑曲面f(x,y,z
6、)在上连续,存在,且有四、第一型面积分的计算则曲面积分证明:由定义知而(光滑)2454说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.3）曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即2654若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且例8.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.2854例9.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则3054例10.计算其中是由平面坐标面所围成的四
7、面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示在平面例11.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则3254思考:若例11中被积函数改为计算结果如何?例12.求半径为R的均匀半球壳的重心.解:设的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球坐标思考题:例11是否可用球面坐标计算?3454例13.计算解:取球面坐标系,则例14.计算其中是球面利用对称性可知解:显然球心为半径为利用重心公式例15.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.例16.求椭圆柱面
8、位于xoy面上方及平面z=y下方那部分柱面的侧面积
