名校之门2011届高三数学精品复习之椭圆及其性质.doc

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1、2011届高三数学精品复习之椭圆及其性质1.方程表示椭圆>0,>0,且≠;是,中之较大者,焦点的位置也取决于,的大小。[举例]椭圆的离心率为,则=解析:方程中4和哪个大哪个就是,因此要讨论;(ⅰ)若0<<4,则,∴,∴==,得=3;(ⅱ)>4,则,∴,∴==,得=;综上:=3或=。[巩固]若方程:x2+ay2=a2表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆,则a的允许值的个数是A 1个    B.2个   C.4个   D.无数个2.椭圆关于x轴、y轴、原点对称;P(x,y)是椭圆上一点,则

2、x

3、≤a,

4、y

5、≤b,a-c≤

6、PF

7、≤a+c,(其中F是

8、椭圆的一个焦点),椭圆的焦点到短轴端点的距离为a,椭圆的焦准距为,椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2,通经是过焦点最短的弦。[举例1]已知椭圆(>0,>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,若BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为。解析:

9、AB

10、2=2+2,

11、BF

12、=,

13、FA

14、=+,在Rt⊿ABF中,(+)2=2+2+2化简得:2+-2=0,等式两边同除以2得:,解得:=。注:关于,,的齐次方程是“孕育”离心率的温床。[来源:学科网ZXXK][举例2]已知椭圆(>0,>0)的离心率为,若将这个椭圆绕着它的

15、右焦点按逆时针方向旋转后,所得的新的椭圆的一条准线的方程为=,则原来椭圆的方程是。解析:原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点,在x轴上,直线=为新椭圆的上准线,故新椭圆的焦准距为,∴原来椭圆的焦准距也为,于是有:=①,=②,由①②解得:=5,=3。[巩固1]一椭圆的四个顶点为A1,A2,B1,B2,以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点,的椭圆的离心率为。[来源:Zxxk.Com][巩固2]在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为(A)(B)(C)(D)[迁移]椭圆上有n个不同的点P1,P2,P3,…

16、,Pn,椭圆的右焦点F,数列{

17、PnF

18、}是公差大于的等差数列,则n的最大值为()A.198B.199C.200D.2013.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。[举例1]已知⊙Q:(x-1)2+y2=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切,则M点的轨迹方程是:。解析:P(-1,0)在⊙Q内,故⊙M与⊙Q内切,记:M(x,y),⊙M的半径是为r,则:

19、MQ

20、=4-r,又⊙M过点P,∴

21、MP

22、=r,于是有:

23、MQ

24、=4-

25、MP

26、,即

27、MQ

28、+

29、MP

30、=4,可见M点的轨迹是以P、Q为焦点(c=1)的椭圆,a=2。[来源:学科网][

31、举例2]若动点P(x,y)满足

32、x+2y-3

33、=5,则P点的轨迹是:A.圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线解析:等式两边平方,化简方程是最容易想到的,但不可行,一方面运算量很大,另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项,这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是,仔细观察方程后,就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离,而等式右边则是两点间的距离的5倍;为了让等式左边变成点到直线的距离,可以两边同除以,于是有:=,这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了,只需将方程再变形为:,即动点P(x,y)到定点A(1,2)与到定直线x+2y-3=0的距离之

34、比为,∴其轨迹为椭圆。[巩固1]已知圆为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,则点M的轨迹方程为.[巩固2]设x、y∈R,在直角坐标平面内,=(x,y+2),=(x,y-2),且

35、

36、+

37、

38、=8,则点M(x,y)的轨迹方程为。[来源:学,科,网][提高]已知A(0,7),B(O,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,则椭圆的另一焦点的轨迹方程为。[迁移]P为直线x-y+2=0上任一点,一椭圆的两焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),则椭圆过P点且长轴最短时的方程为。4.研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时,往往用定义;会推

39、导并记住椭圆的焦半径公式。[举例1]如图把椭圆的长轴AB分成8分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……[来源:学科网ZXXK]七个点,F是椭圆的一个焦点,则____________.解析:P1与P7,P2与P6,P3与P5关于y轴对称,P4在y轴上,记椭圆的另一个焦点为F/,则

40、P7F

41、=

42、P1F/

43、,

44、P6F

45、=

46、P2F/

47、,

48、P5F

49、=

50、P3F/

51、,[来源:学+科+网Z+X+X+K]于是

52、P1F

53、+

54、P1F/

55、+

56、P2F

57、+

58、P2F/

59、+

60、P3F

61、+

62、P3F/

63、+

64、P4F

65、=7a=35.[举例2]已知A、B是椭圆上的两点,

66、F2是椭圆的右焦点,如果AB的中点到椭圆左准线距离为,则椭圆的方程.解析:==,记AB的中点为M,A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1,M1,由椭圆第二定义知:

67、AF1

68、=e

69、AA1

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