第十一讲第4课：基本不等式 (教案).doc

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1、第十一讲不等式第4课：基本不等式（＞0，＞0）一．课标要求1、教学目标：①了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题③了解证明不等式的基本方法——综合法2、教学重点：①综合法证明不等式②利用重要不等式求最值二．要点精讲1.基本形式:,则;,则,当且仅当时等号成立.2、常用重要不等式：①则②③（）④若则3、最值定理：设＞0，＞0，由（1）若积（定值）则和有最少值2（2）若和=（定值）则积有最大值利用基本不等式求最值应满足的条件：“一正、二定、三相等”4、.拓展：若时,,当且仅当时等号成立.【课前预习】

2、1.已知a＞0,b＞0，+=1，则a+2b的最小值为()A.7+2B.2C.7+2D.14答案A2．（天津文9）设的最大值为A2BC1D答案：C解析：因为，3.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是()A.0B.1C.2D.4答案D4.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为（）A.7B.3C.1+2D.5答案A5．（2008·江苏）的最小值为。解析：本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。答案：3三．典例解析题型1、利用基本不等式求最值(或

3、取值范围)例1.（1）若＞0，求的最少值；（2）若＜0，求的最大值例2.（1）已知且满足=1,求的最大值.（2）已知，求的最少值（3）已知且满足,求的最小值（4）已知且求的最少值【解题思路】利用，构造均值不等式解析：∵,,∴,当且仅当时等号成立,即,∴,又,∴∴当时,有最小值18.【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．例3.若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______．【解题思路】可通过

4、多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解．解法一由a、b∈R+，由重要不等式得a+b≥2，则ab=a+b+3≥2+3，即≥≥≥3，∴ab≥9．解法二a、b为正数，∴ab=a+b+3≥>0，两边立方得a3b3≥34aba2b2≥34，∵ab>0，∴ab≥9．解法三原条件式变为ab-3=a+b，①∵a、b均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴a2b2-6ab+9≥4ab，即a2b2-10ab+9≥0，(ab-1)(ab-9)≥0，由①式可知ab>3

5、，∴ab≥9．解法四把a、b∈R+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则△=(3-ab)2-4ab≥0，即(ab)2-10ab+9≥0，∴(ab-9)(ab-1)≥0，∵ab-1=a+b+2>0成立，∴ab≥9．解法五由已知得a(b-1)=b+3，显然a>1，∴，≥，即ab≥9．【名师指引】本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法．题型：利用基本不等式证明例4、（1）已知,求证:.（2）已知a，b为正数，求证：≥．（1）【解题思路】因为是轮

6、换对称不等式，可考虑由局部证整体.[解析],相加整理得.当且仅当时等号成立.【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.（2）【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析1：∵a>0，b>0，∴≥，≥，两式相加，得≥，∴≥．解析2.≥．∴≥．解析3.∵a>0，b>0，∴，∴欲证≥，即证≥，只要证≥，只要证≥，即证≥，只要证a3+b3≥ab(a+b)，只要证a2+b2-ab≥ab，即证(a-b)2≥0．∵(a-b)2≥0成立，∴原不等式成立．

7、【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路．“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用．这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．【课外作业】1.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围为（）A.B.C.D.答案C2.在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（）A.y=x+B.y=C.y=D.y=x2-2x+3答案D3.已知0＜x＜1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为()A.B.C.D.答案

8、B4.（2008·聊城模拟）若直线2ax+by-2=0（a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则+的最小值是（）A.1B.5C.4D.3+2答案D5.（1）已知0＜x＜，求x(4-3x)的最大值；（2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x+4y的最小值.解（1）已知0＜x＜,∴0＜3x＜4.∴x(4-3x)=