高中数学(必修四)三角函数.doc

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1、高中数学必修四〔三角函数〕一、典型例题例1、已知函数f(x)=（1）、求它的定义域和值域；（2）、求它的单调区间；（3）、判断它的奇偶性；（4）、判断它的周期性。分析：（1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z∴函数定义域为，k∈Z∵∴当x∈时，∴∴∴函数值域为[）（3）∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称∴f(x)不具备奇偶性（4）∵f(x+2π)=f(x)∴函数f(x)最小正周期为2π注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的

2、符号，如图。例2、化简，α∈（π，2π）分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式∵∴原式=∵α∈（π，2π）∴∴当时，∴原式=当时，∴原式=∴原式=注：1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为，是欲擒故纵原则。一般地有，，。2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为（取）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握变形结论。例3、求。分析：原式=注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。例4、已知00<α<β<900，且sinα，sinβ是方程=0的

3、两个实数根，求sin(β-5α)的值。分析：由韦达定理得sinα+sinβ=cos400，sinαsinβ=cos2400-∴sinβ-sinα=又sinα+sinβ=cos400∴∵00<α<β<900∴∴sin(β-5α)=sin600=注：利用韦达定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再利用单调性求α，β的值。例5、（1）已知cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值；（2）已知，求的值。分析：从变换角的差异着手。∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α∴8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-

4、α]=0展开得：13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0同除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)tanα=以三角函数结构特点出发∵∴∴tanθ=2∴注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。例6、已知函数（a∈(0，1)），求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。分析：对三角函数式降幂∴f(x)=令则y=au∴0

5、正周期为π当x=kπ（k∈Z）时，ymin=1当x=kπ+（k∈Z）时，ynax=注：研究三角函数性质，一般降幂化为y=Asin(ωx+φ)等一元一次一项的形式。练习一、选择题1、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是（）A、y=lgx2B、y=

6、sinx

7、C、y=cosxD、y=2、如果函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=-对称，则a值为（）A、-B、-1C、1D、3、函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，φ>0），在一个周期内，当x=时，ymax=2；当x=时，ymin=-2，则此函数解析式为（）A、B、C、D、4、已知=1998，则的值

8、为（）A、1997B、1998C、1999D、20005、已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，则α+β等于（）A、B、或C、或D、6、若，则sinx·siny的最小值为（）A、-1B、-C、D、7、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是（）A、5.5B、6.5C、7D、88、若θ∈（0，2π]，则使sinθβ，则sinα>sinβB、函数y=sinx·cotx的单调区间是，k∈ZC、函数的最小正周期是2π

9、D、函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则，k∈Z10、函数的单调减区间是（）A、B、C、D、k∈Z二、填空题11、函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称，则θ=________。12、已知α+β=，且(tanαtanβ+c)+tanα=0（c为常数），那么tanβ=______。13、函数y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。14、已知(x-1)2+(y-1)2=1，则x+y的最大值为____