第十七章复数及其应用、十八章线性规划初步复习卷.doc

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1、第十七章复数及其应用复习卷【知识点】第一节复数的概念1．复数的概念：形如a＋bi的数称为复数，其中a，b∈R，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位，i2＝－1.2．复数集：(1)全体复数构成的集合叫做复数集，记为C.(2)复数3．复数的比较：(1)两个复数相等的充要条件：实部对应相等，虚部对应相等，即a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔.(2)两个复数如果都是实数，则可比较大小；否则，不能比较大小．4．共轭复数两个复数的实部对应相等，虚部互为相反数，则称这两个复数为共轭复数，复数的共轭复数用表示，z=a+bi,，则=.如：z＝－5i的共

2、轭复数＝.5．虚数单位i的性质：i4n＝，i4n＋1＝，i4n＋2＝，i4n＋3＝(n∈Z)第二节复数的代数运算1、复数代数形式的加减乘除运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，(1)z1±z2＝(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)，(2)z1·z2＝.i2=-1(按多项式乘法相乘)，(3)＝＝＋i(c＋di≠0)(分母实数化，分子分母同乘以分母的共轭复数)；(4)(1＋i)2＝，(1－i)2＝，＝，＝.3．实系数一元二次方程对于ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)，记Δ＝b2－4ac(1)Δ＞0⇔方程有两个不相等的实根，

3、x1，x2＝；(2)Δ＝0⇔方程有两个相等的实根，x1＝x2＝－；(3)Δ＜0⇔方程有两个共轭虚根，x1，x2＝.第三节复数的几何意义及三角形式一、复平面复数z＝a＋bi可用复平面内的点(a，b)表示，如：复数z＝－1－i在复平面内用点(－1，－1)表示．复平面内横轴叫，纵轴（原点除外）叫。二、复数的模与辐角1、复平面内表示复数z＝a＋bi的点Z(a，b)到原点的距离叫做复数的模，记为

4、z

5、.即；共轭复数与复数模的性质：z·＝

6、z

7、2＝

8、

9、22、辐角：从x轴正向到的转角θ叫做复数z的辐角．辐角主值：我们把复数z在(－π，π]内的辐角叫做辐角的主值，记作ar

10、gz．一个复数对应唯一的辐角主值argz，如图所示：规定：复数0的辐角是任意角．三．复数的三角形式1、设z＝a＋bi≠0，其模

11、z

12、＝r，辐角为θ，则z＝r(cosθ＋isinθ)叫做复数的三角形式．2、复数的三角形式的三条基本准则：①r≥0；②余弦与正弦是同角三角函数；③cosθ与isinθ之前的系数必定是1，且用“＋”连接．3、复数的代数形式和三角形式的互化复数z＝r(cosθ＋isinθ)，只要计算出三角函数值，即可转化成代数形式；复数z＝a＋bi≠0，要计算出模及辐角主值，就可转化成三角形式．4、复数三角形式的乘除法．设z1＝r1(cosθ1＋is

13、inθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和．＝[cos(θ2－θ1)＋isin(θ2－θ1)]．复数的商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差．【练习题】1．下列句子中：①若z∈C，则z2≥0；②两个虚数不能比较大小；③若z1，z2∈C，且z1－z2＞0，则z1＞z2.其中正确的个数有(　　)A．1个B．2个C．3个D．都不正确2．已知复数i，则i4＋i5＋i6＋i7＋i8的值为(　　)A．iB．0C．1D．－i3．已知复数z＝7－i

14、，则其所对应的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若a＋bi＝0(a，b∈R)的充要条件是(　　)A．a＝0且b＝0B．a＋b＝0C．a－b＝0D．a·b＝05．复数z的实部是－3，虚部为－2，则＝________．6．若复数z＝(1－x)i＋(x2＋x－2)，x∈R是纯虚数，则实数x＝________，复数z＝________．7．若3－ai＝－b－i(a，b∈R)，则a＝________，b＝________．8．设z1＝2＋3i，z2＝4－2i，则z1－z2的值是(　　)A．－2＋5iB．－2－5

15、iC．－2－iD．－2＋i9．复数等于(　　)A．－2B．－2iC．iD．－110．设z1＝3－i，z2＝1－i，则z1＋z2在复平面内所对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．1＋i＋i2＋…＋i50的值为(　　)A．1B．－1C．iD．－i12．设复数z＝，则z＋与z－的值为(　　)A．－2i，4B．4－2i，0C．4－2i，－2iD．4，－2i13．设z＝(1－i)(2＋i)，则＝________．14．计算：(3＋5i)(－1＋i5)－(2＋i)3＝________．15．在复数范围内，求解下列方程．(1)x2＝－

16、4;(2)x2＋x＋1＝0.16．复数z＝x＋yi(x，y∈R)，