有趣地数学游戏.docx

《有趣地数学游戏.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美（一）一个博弈游戏让我们来玩一个游戏。下面有五行石子，白色的石子都是我的，黑色的石子都是你的。我们轮流拿走一个自己的石子，并且规定如果一个石子被拿走了，它后面的所有石子都要被扔掉。谁先没有拿的了，谁就输了。○●●○●●○●●○●○○●○●●○●○○○○●●●○●●●●比如说，如果你先走的话，你可以把第四行的第三个石子拿走，按规定第四行将会只剩下前面两个石子：○●●○●●○●●○●○○●○●●○●○○○○●●●现在轮到我走了。我可以拿走第二行倒数第二个石子，于是整个棋局变成了这样：○●●○●●○●●○●

2、○○●○●●○○○○●●●现在，假如说你拿走了第二行中的第一个石子（于是第二行就没了），那么我就赢定了。我可以拿走第一行中的第一个石子，从而让整个棋局只剩下后面三行：○○○○●●●这三行中有四个白石子，有三个黑石子，并且每一行都是同种石子。于是整个局面完全变成了一个拼石子个数的游戏，我只需要一个一个地拿走白色石子，你必然将会率先无路可走。受此启发，我们自然地想到了一种刻画棋局的方式：把每个白色石子记作+1，把每个黑色石子记作-1。于是○○○○+●●+●=4–2–1=1，结果是一个正数，这就表明该局面下我将必胜，即使此时轮到我先走。你会发现

3、上面的说法很有道理。毕竟白色的石子越多，对我越有利，给我带来的效用为正；而黑色的石子会减小我获胜的希望，当然应该给它赋上一个负的值。四白三黑算出来的结果为正1，直观意义就是我能以一步的优势获胜。如果棋局是这样：○○●●●●那么○○+●●●●=2–4=-2，是一个负数，这就意味着不管谁先走，你都能必胜，因为你能比我多走两步。我们不妨把一个棋局对应的数叫做棋局的“特征值”。特征值为正，就表明不管谁先走我都能必胜；特征值为负，就表明不管谁先走你都能必胜；而特征值的绝对值，则直观地量化了胜负的悬殊。现在，考虑下面这个棋局：○○●●那么○○+●●=

4、2–2=0，这表明此时的情形介于“我必胜”和“你必胜”之间。事实上也是这样——如果我先走你后走，你就赢定了；如果你先走我后走，我就赢定了。这是因为，这个棋局的特征值为0，双方能够走的步数相同，当然谁后走谁就赢定了。真正有趣的事情出现了。考虑下面的棋局：○●它的特征值应该是多少呢？容易看出，它的特征值是一个正数，因为不管谁先走，显然我都能赢。同时，它的特征值也应该比1小，因为只有一个○要比○●赢得更爽一些。事实上，单看○●黑方确实无论如何都会输，但在某些场合下，○后面的这个●能让黑方喘上一口气。比如下面这个棋局：○●●如果我先走，显然你必胜

5、无疑。如果你先走呢？先走的人获胜的难度更大，你可要好好想想策略。你可以拿走那个单独成行的●，但当我拿走○之后，你就得眼睁睁地看着自己剩下的那个●被一并收走。此时，你或许会意识到，你本来还能多走一步的，可惜这一步被浪费掉了。因此，你更好的做法就是，一上来先拿走○后面的●。运用这种策略，显然你也会必胜无疑。可见，不管是我先走还是你先走，整个棋局对于你来说都是必胜的，从而有○●+●=○●–1<0，这再次说明了○●是一个小于1的数。那么，○●是否等于1/2呢？答案是肯定的，考虑下面这个棋局：○●○●●如果我先走，本质上不同的走法只有一种，并且局面

6、将会立即变成刚才那种你必胜的情形，因而你将必胜。如果是你先走呢？拿走那个单独成行的●会让你提前锁定败局，更好的选择则是像刚才一样，先拿走某个○后面的●，为自己多赢得一步。现在，石子只剩下了○●、○、●这么三行。那么，我应该拿走哪一个○呢？拿走那个单独成行的○会让局面再次变回刚才那种你必胜的情形，更好的选择则是拿走后面有●的○，这样我便能让你损失一步。掌握了这个技巧后，我就能做到必胜了。综上所述，整个棋局是一个谁后走谁就赢定了的局面。于是○●+○●+●=0，也就是○●+○●–1=0，可以解得○●等于1/2。也就是说，在○●中，我将以半步的优

7、势获胜。对应地，●○就等于-1/2，此时你将以半步的优势获胜。注意，目前并没有任何理论告诉我们，这么加减是合理的。不过我们却发现，这么加减出来的结果真的是对的。比如说，○●+○●+○●+●=1/2+1/2+1/2–1=1/2，而棋局○●○●○●●对于我来说真的就是必胜的局面！这背后一定有一个更深层次的原因：棋局之间的加减和数与数之间的加减一定存在着某些共通的地方。也就是说，为了解释“为什么棋局的加法和数的加法如此之像”，我们需要证明，两者具有完全相同的代数结构。我们需要建立一个从棋局到实数的映射法则，然后说明全体棋局（或者全体棋局的一部分

8、）与全体实数（或者全体实数的一部分）是同构的。正如Poincaré所说，诗歌的艺术在于给相同的东西取不同的名字，数学的艺术在于给不同的东西取相同的名字。两个看似毫不相关的东西竟然是同构的，这在