一阶线性微分方程ppt课件.ppt

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1、一、一阶线性微分方程二、齐次线性方程的解法三、非齐次线性方程的解法第四节一阶线性微分方程第七章一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,称为非齐次方程.若Q(x)0,称为齐次方程;例如线性的;非线性的.(1)是齐次线性方程.是非齐次线性方程y3x25x(2)3x25x5y0是非齐次线性方程(3)yycosxesinx考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？(4)不是线性方程(5)或不是线性方程分离变量:两边积分得:故通解为:二、齐次线性方程的解法(使用分离变量法)齐次方程是变量可分离方程(一阶线性微分方程)例1求方程的通解.解1：

2、解2：这是齐次线性方程：由通解公式得原方程的通解为：ln

3、y

4、ln

5、x2

6、lnC原方程可变为两边积分得方程的通解为yC(x2)三、非齐次线性方程的解法两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:对应齐次方程通解积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:非齐次方程特解即：是非齐次方程一个特解.验证是非齐次线性方程的一个特解：常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.齐次线性方程的通解非齐次线性方程：解:例2例3解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令例4求方程的通解.解：方程变为把y看成是x的函数：不便求解但若写成：则为一阶

7、线性微分方程于是对应齐次方程：分离变量，并积分得常数变易法代入原方程故原方程的通解为例5：解方程法1.取y作自变量:线性方程.法2.作变换则代入原方程得可分离变量方程两端积分得以uxy代入上式：二、伯努利(BERNOULLI)方程伯努利方程的标准形式:2)令3)求出线性方程的通解；得4)换回原变量，即得伯努利方程的通解.解法:1)(线性方程)方程两边除以例3.求方程的通解.解:则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:令两边同除以得：内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程作业：P3151(1),(3),(7);2(2)

8、,(4);7(1),(3)思考与练习1、判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次型方程线性方程线性方程伯努利方程2、求下列方程的通解:3.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.