空间几何体的直观图.docx

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1、空间几何体的直观图[学习目标]　1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.知识点一　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤1.画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.2.画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.3.取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原

2、来的一半.思考　相等的角在直观图中还相等吗？答　不一定，例如正方形的直观图为平行四边形.知识点二　空间几何体直观图的画法1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.2.画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面.3.画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.思考　空间几何体的直观图惟一吗？答　不惟一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同.题型一　画水平放置的平面图形的直观图例1　画出如图所示水

3、平放置的等腰梯形的直观图.解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.　　　(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.跟踪训练1　如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠A＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图.解　(1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB

4、所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy，如图②所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图①中，过点D作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝≈2.598cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm.(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.题型二　由直观图还原平面图形例2　如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还

5、原成平面图形.解　①画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示.跟踪训练2　如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长.解　如图为原平面图形.由斜二测画法可知，OB＝2O′B′＝2cm，OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1cm，且AB∥OC，∠BOC＝90°.所以四边形OABC为平行四边

6、形，且BC＝＝＝3(cm)，故平行四边形OABC的周长为2(OC＋BC)＝8(cm).题型三　空间几何体的直观图例3　如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.解　(1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示；(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴，z′轴，如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.图3跟踪训练3　由如图所示几何体的三视

7、图画出直观图.解　(1)画轴.如图(图1)，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱.过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图(图2).图1　　　　　　　　　　图2求直观图的面积例4　已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的等边三角形，那么△ABC的面

8、积为(　　)A.a2B.a2C.a2D.a2分析　求