第六章共形映射详解课件.ppt

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1、第六章共形映射共形映射的概念分式线性映射几个常见区域间的分式线性映射几个初等函数所构成的映射§6.1共形映射的概念一、解析函数的导数的几何意义上式表明：二、共形映射的概念推论：共形映射中的两个基本问题：1.分式线性映射及其分解2.分式线性映射的性质6.2分式线性映射及其性质共形性保圆性保对称性3.确定分式线性映射的条件一.分式线性映射及其分解因此，分式线性映射可分解为称为2.分式线性映射的性质由于因此在扩充复平面上是一一的映射。i)将映成当时，作若在处是保角的，则称在处是保角的；即有将ii)映成当时，作若在处是保角的，则称在处是保角的；iii)映成当时，作若在处

2、是保角的，则称在处是保角的。将性质1~~~~~~~我们规定：直线是半径为无穷大的圆周。30？代入圆的方程得所以，性质2综上所述我们有：那么它就映射半径为有限的圆周，如果有一点映射成无穷远点，那么它就映射成直线。在分式线性映射下，如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点，3保对称性首先我们来阐明关于圆周的对称点的一个重要特性，即是关于圆周的对称点的充要条件是通过的任何圆周与正交事实上，如果是一条直线结论显然成立。如果当为过的直线时，则一定通过圆心因此与正交。当为半径有限的圆周时，由点作的切线，切点为因此由平面解析几何知识得因此在圆周上，的切线为半径，即与正交。反

3、过来，设是过的与正交的任意圆周，那么特别连接的直线必与正交，因此必通过的圆心，如果是半径为有限的圆周，那么与在交点处正交，因此的半径为的切线，所以有因此为关于圆周的对称点。因此在圆周上，定理3设是关于圆周的对称点，则在分式线性映射下，它们的像一定是关于的像曲线称点。的对映射的这种性质称为保对称性。证设通过的任意圆周为是经过的圆周由分式线性映射过来的，所由于与正交，以与正交，(保角性）的对称点。因此是关于圆周称之为对应点公式证明注：（1）式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。~~~~~~~~~~~~所求分式线性映射因此，式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性。

4、例解：确定对应区域的两个方法：定理例解43xy(z)1-1i-iouv(w)o上半平面单位圆内部单位圆内部单位圆内部6.3常见的分式线性映射上半平面上半平面例解uv(w)xy(z)解法一于是解：571.幂函数2.指数函数§6.4几个初等函数所构成的映射1.幂函数幂函数：xy(z)uv(w)xy(z)上岸下岸uv(w)61幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成了原来的n倍，因此，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

5、~~~~xy(z)uv(w)i例解:64-ixy(z)i11uv(w)例[解]令C1,C2的交点z=i与z=-i分别映射成z平面中的z=0与z=,将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:其中k为待定的复常数.2.指数函数带形区域　　　　　　　　　角形区域xy(z)iauv(w)xy(z)上岸下岸uv(w)69xy(z)uv(w)i例3解70xy(z)ab1例4解uv(w)xy(z)uv(w)EABDC例5解答：xy(z)uv(w)xy(z)-11例6uv(w)例7解故所求的映射为解故所求的映射为复合以上映射得