最小二乘法估计量的性质.doc

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1、高斯—马尔可夫定理:若一元线性模型满足计量经济基本假设则参数的最小二乘估计OLS是最小方差的线性无偏估计。BLUE最小二乘法估计量OLS的性质高斯—马尔可夫定理的初步证明1线性性0�0�3和1�0�3都是iy的线性函数证明ininjjinjjniiiyxxxxxxyxx�0�3令njjiixxxxk12则有iniiyk11�0�3且有0ik1iixkniiixxk1221从而1�0�3是iy的线性函数同理0�0�3xy1�0�3iiiiniiykxnykxyn111令iikxnw1则有iiyw0�0�3即0�0�3也是iy的线性函数。另有1iw

2、0iixw2.无偏性0�0�3和1�0�3都是0、1的无偏估计量即有�0�300E11�0�3E证明先证11�0�3Eiiiiniiuxkyk1011�0�3又0ik1iixkiiiiiniikuxkyk01011�0�3iiiiukxk1iiuk11101�0�3iiiiiuEkxkkE因为:0ik1iixk同理利用1iw和0iixw可证得�0�300E3.最优性或最小方差性在所有的线性无偏估计中0�0�3和1�0�3分别是0、1的方差最小的有效估计量证明若1是原值1的一个线性无偏估计方差条件不限且记iiyc1∵线性估计再根据无偏估计的特性有

3、10iiixcc。再记iiiykcP11�0�31则有11�0�3P�0�32�0�3�0�32�0�3�0�3�0�3�0�PCovDPDPCovCovPPCovPPCovCovD如果能证明0�0�31PCov则利用方差不小于0的性质判定�0�3�0�3111DDPDD1�0�3即为所有无偏的线性估计中方差最小的。∵2221�0�3uiiiuiiiiiiiikkckkcykykcCovPCov又∵njjiixxxxk12且有0ik1iixkniiixxk1221所以njjnjjniniiiiiiixxxxxcxckkc0�0�31PCov有�

4、0�3�0�3111DDPDD命题得证。此处利用了10iiixcc。