复旦大学数学物理方法考卷答案.pdf

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1、1.简答题:（8分×4）(1)x=P1(x)，故：当l=1时，原式=2/3(4分)当l=2,3时，原式=0(2分+2分)(2)几个特征：(a)limN0(x)=∞,limN1(0)=∞(2分)x→0x→0(b)N1的第一个根大于N0的第一个根(3分)(c)N0与N1根交错出现(3分)0.524681012-0.5-1.0(3)u(l,t)=0(4分)YSux(0,t)=ku(0,t)(4分)(4)只有向右传播的波：u=f(t−x/a)(2分)t=0时u=0，故f(−x/a)=0ifx≥0(2分)t≥0的x=0处，SYux=sinωt=f

2、(t)(2分)a[cosω(t−x/a)−1]t≥x/a综上：u=ωSY(2分)0t

3、)=0=⇒An=−sindx(4分)l0l4u0A2n+1=,A2n=0(3分)(2n+1)π223.ut=a∇u,u=u0,u=u1(1+1+1分)t=0r=bu=v+w,v=u1,w满足齐次方程、齐次边条22wt=a∇w,w=u0−u1,w=0(3分)t=0r=bw=R(r)T(t)()(0)2′′22xnrR(r)+rR(r)+µrR(r)=0=⇒Rn(r)=J0r(4分)b()2(0)′′22−xn(4分)T(z)+aµT(z)=0=⇒T(t)=expatb()()2∑∞x(0)x(0)n−n(2分)w(r,t)=

4、cnJ0rexpatbbn=1()∑∞x(0)n应用初条：cnJ0r=(u0−u1)(2分)bn=1∫()b(0)xn(u0−u1)J0rrdr0bcn=∫()(2分)b(0)2xnJ0rrdr0b∇2u=0a≤r<∞(2分)limu(r,θ,ϕ)=有界(2分)4.定解问题：r→0{q0cosθ0≤θ≤π/2(kur+Hu)=(4分)r=a0π/2≤θ≤π∑∞lu=AlrPl(cosθ)(4分)l=0利用r=a处的边界条件：∫=22l+1HAal+klAal−1=qcosθP(cosθ)sinθdθ(4分)ll

5、0l20求球心温度，只需求A0(2分)∫=2q0q0A0=cosθsinθdθ=(2分)2H04Hu−a2u=hsinωt,ttxx5.定解问题：u(0,t)=u(l,t)=0(每行1分)u(x,0)=0,ut(x,0)=0v(x,t)=A(x)sinωt,A(0)=A(l)=0(2分)−ω2A−a2A′′=h(2分)hA(x)=−+F(x)(2分)ω2F′′+(ω/a)2F(x)=0=⇒F=αcos(ω/a)x+βsin(ω/a)x(2分)ωl1−coshha由A(0)=A(l)=0可得：α=,β=(4分)ω2ω2ωls

6、ina[()]hsinωtωxωlωlωxv(x,t)=sin−sin+sin−(5分)ω2ωlaaaasina