高数-经济数学——微积分(第二版)1-7.ppt

《高数-经济数学——微积分(第二版)1-7.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七节函数的连续性及间断点一、函数的连续性二、函数的间断点第一章函数与极限一条大河川流不息奔向大海，一条大道连绵不断的通向远方，光阴在连续不断的流失，从北京开往天津的动车从北京南站驶出连续行驶30分钟到达天津站，最近气温在连续不断的下降.......一、函数的连续性１．引入总之自然界中有很多连续现象发生．这种现象表现在函数关系上称为函数的连续性，函数的连续性表现在图像上是一条连绵不断的曲线．2．函数的增量增量一定是正值吗？增量可正可负等价于，等价于与，与有何关系？思：设有变量u,如果它先取值u1(称为初值).后又取值u2(称为终值),称其取值的改变u2-

2、u1为其增量,记作Δu.对函数f(x),当自变量在初值点x0获得一个增量Δx而变成x=x0+Δx后,相应的函数f(x)也有一个增量,记为Δy即03．函数在一点连续的定义定义1设函数f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义，若或则称函数y=f(x)在x0点连续．思：从定义您看，函数在一点连续是在这点有极限的基础上增添了哪些条件？答：连续是在极限存在的基础上增添了函数f(x)在x0点有定义，函数在时的极限值为函数值f(x0).思：从定义您看，函数在一点连续是在这点有极限的基础上增添了哪些条件？因此,函数在一点连续需要具备三个条件：1.函数在该点要有定义

3、;2.极限必须存在;3.极限值等于该点处函数值.4．单侧连续设f(x)在x0的附近有定义，若则称f(x)在x0点右连续；若则称f(x)在x0点左连续.函数y=f(x)在x0点连续例1函数在x=0点是否连续？显然，函数在点是不连续的；解由于在点x0既右连续也左连续．在点x0连续函数y=f(x)在x0点连续由于解因此当时在点连续．根据该函数的特点,考查该函数在x=0点是否连续,应该从哪几方面考虑?该点是分段函数的分界点,因此需要考虑单侧连续,由既左连续也右连续来求出a的值.在点连续，需使要使例2设a为实数，当a为何值时，函数在x=0点连续．若函数在区间上的每

4、一点处都连续，称函数在该区间连续．能说出几个在某一区间连续的函数吗？例如：在内都是连续的.注：如果区间包括端点，那么在端点处，只能是单侧连续。即在左端点右连续，在右端点左连续。5．函数在区间连续的定义常函数f(x)=c在任意一点是连续的；函数在x≥0时是连续的．如果函数f(x)在x0的一个去心邻域有定义,并且在x0点不连续,则称f(x)在x0点间断;称x0为f(x)的间断点．我们知道，函数f(x)在x0点连续必须同时具备以下三个条件：（1）f(x)在点x0必须有定义；（2）在x→x0时，f(x)必须有极限；（3）极限值必须是f(x0).１．间断点的定义二

5、、函数的间断点根据函数在一点连续的条件，请分析函数在一点处间断可能有哪些原因?如果函数f(x)在x0点具有下列三种情况之一：（1）函数f(x)在x0点没有定义；（2）极限不存在；（3）极限存在，但不等于f(x0).则函数f(x)在x0点间断，x0为f(x)的间断点．根据函数在一点连续的条件，请分析函数在一点处间断可能有哪些原因?我们知道，函数f(x)在x0点连续必须同时具备以下三个条件：（1）f(x)在点x0必须有定义；（2）在x→x0时，f(x)必须有极限；（3）极限值必须是f(x0).分析下面所给函数在指定点处间断的原因.在点无定义，为其间断点；因此

6、点（1）函数可去间断点而存在，且为2，如果令容易证明x=1是F(x)的连续点而不是间断点．（称F(x)为函数的(连续)延拓),这一类间断点称为函数的可去间断点；在x=0点有定义,跳跃间断点（2）符号函数函数在这一点有一个“跳跃”，称这一类间断点为函数的跳跃间断点；故x=0是其间断点；因此不存在，但注意到当时，左、右极限都存在,因此点是函数y=tanx的间断点；虽然极限不存在，但是它有一个确定的变化趋势——趋于无穷，这一类间断点称为函数的无穷间断点.无穷间断点（3）（4）函数由图可以看出，x→0时，函数值在-1和1之间变动无穷多次．称x=0是函数的振荡间断

7、点．0=x振荡间断点在x=0时无定义，x=0是函数的间断点．2．间断点的分类如果函数f(x)以点x0为间断点，但f(x)在x→x0时左右极限都存在，则x0称为f(x)的第一类间断点；不是第一类间断点的其他间断点称为第二类间断点．函数的可去间断点、跳跃间断点是函数的第一类间断点；而无穷间断点、振荡间断点等是第二类间断点．可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点和振荡间断点分别是第几类间断点？小结1.函数y=f(x)在x0点连续2．间断点的分类第一类间断点第二类间断点(左右极限都存在的点)可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点