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1、第一章函数与极限第三节函数的极限一、x无限趋近于x0时，函数f(x)的极限二、当x无限增大时，函数f(x)的极限三、函数极限的性质引例1函数可以看到在的值无限增大的时候，函数的值无限接近于零.引例2函数可以看到在无限接近于1时，函数的值无限接近于2.一、x无限趋近于x0()时，函数f(x)的极限当时，f(x)以A为极限，既是说，对任意给定的当x接近于x0到某一“程度”后，恒成立.关键的问题是：如何描述x→x0的“程度”以及这个“程度”之后.在x无限趋近于x0的过程中,当变化到某一“程度”()，,之后相应地函数值与常数A的距离<设为任意给定的正数.事实上，有些函数在x0点可能没有
2、定义，比如该函数在x=1时无定义，因此我们只能考察x无限趋近于1、而不等于1时函数的变化趋势，而不去管（也无法去管）它在x=1时的具体情况．如何刻画x趋近于1而不等于1呢？但是，需要注意的是：意指x无限趋近于x0，而不等于x0.趋近不等于1定义2设函数f(x)在x0的某一个去心邻域内有定义，若存在常数A,存在对任意的,当时,恒有,则称时,f(x)以A为极限，记作或唯一吗?若函数极限不存在，则称该函数发散.于是我们有：几何意义任意给定,都存在一个，当时,函数f(x)的图形都落在以直线为中心，宽为的带形区域里.()有时需要考虑x从一侧趋近于x0的情况.请适当改动定义2得出：当x从x
3、0的右侧趋于x0()时，以A为极限(右极限)的定义.考虑当x趋近于a时只能从a的右侧趋近于a，比如:函数f(x)在开区间(a,b)上有定义，当x趋近于b时只能从b的左侧趋近于b.——就引出了单侧极限的概念.总存在δ>0，对任给的记作或存在常数A，函数f(x)在的右邻域有定义,当时，恒成立,则称A为时f(x)的右极限.请类似地给出左极限的定义右极限：左极限与右极限统称单侧极限.根据极限的定义，显然有都存在且都等于A.总存在δ>0，对任给的记作或存在常数A，函数f(x)在的左邻域有定义,当时，恒成立,则称A为时f(x)的左极限.左极限：根据f(x)的特点，中的f(x)能用具体的解析
4、表达式带入吗？例7证明不存在.讨论证明因为函数f(x)在x=1处的左右极限虽然存在但是不相等，所以极限不存在.如何将中的f(x)用具体的解析表达式代入？呢？有办法解决了吗？求分段函数当时的极限时，必须用左、右极限.将f(x)=1/x与数列{1/n}相比，二者的自变量的变化方式都是无限增大，差异仅在于数列的自变量是“跳跃”地、仅取正整数趋于无穷，{1/n}而对函数，自变量是“滑行”着、“一点不落”地趋于无穷．二、当x无限增大()时，函数f(x)的极限任给,总存在正整数N,当n>N时,恒成立.任给,总存在正数X,当x>X时,恒成立.将它与数列{1/n}相比，二者的自变量的变化方式都
5、是无限增大，差异仅在于数列的自变量是“跳跃”地、仅取正整数趋于无穷，而对函数，自变量是“滑行”着、“一点不落”地趋于无穷．下面我们来看，对于给定的，如何寻找这个“程度”X.相对于数列{1/n}对函数y=1/x，我们有从图中也能直观的看出来当以后的所有x所对应的距离1/x都小于.“程度”X=对任意的，要使恒成立.为此取因此，当时，函数的极限是0.这个“程度”唯一吗？不唯一，所有大于的数都可以取作X.只需当x>X时，就有恒成立.总存在X>0,当x>X时，恒成立，对任意给定的记作或函数在有定义,若存在常数A,则称定义1这个极限定义中，哪几个词是最关键的？恒任意给定总存在时以A为极限.
6、在当x>X时一般的我们有：X任意给定,都存在一个X,当x>X时,函数的图形都落在以为中心，宽为的带形区域里.几何意义参照着数列极限的几何意义，请回答：在自变量时，函数以作为极限的几何意义是什么？总存在X>0,当x<-X时，恒成立,对任给的，记作或存在常数A，则称f(x)在时以A为极限.函数f(x)当x小于某负数时有定义,比较和极限的定义，它们的主要区别是什么？的定义：总存在X>0,当x>X时，恒成立，函数在有定义,若存在常数A,则称定义1记作或时以A为极限.在的定义：总存在X>0,当
7、x
8、>X时，恒成立,对任给的，记作或存在常数A，则称f(x)在时以A为极限.函数f(x)当
9、x
10、
11、大于某正数时有定义,有时还须考虑自变量x既取正值又取负值而绝对值无限增大(记作)时的情况，类似地有比较和极限的定义，它们的主要区别是什么？为什么这里要取
12、x
13、>X？实际上就是要证明对于任意给定的正数，存在X，满足：当x>X时证明的关键就在于找到X.证明在时，函数以零为极限.例1分析证明不妨设任给由于只需于是取当x>X时，恒成立.对于证明中用到的放大的技巧你有何体会？要使即1、唯一性三、函数极限的性质定理1如果存在，那么极限是唯一的。2、局部有界性定理2如果存在，那么存在常数和使得当时，恒有
