第 12 讲 函数的图像.doc

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1、第12讲函数的图像（第课时）神经网络准确记忆！函数的图像重点难点好好把握！重点：1．基本函数的图像；2．函数图像的初等变换；3．识图与用图。难点：1．复杂的图像变换；2．数形结合综合讨论题。考纲要求注意紧扣！1．掌握基本函数的图像；2．从函数的图像特征去讨论函数的主要性质；3．运用数形结合的思想方法解题。命题预测仅供参考！1．主要考查初等函数的图像特征和函数图像的初等变换（平移，对称，伸缩）；2．考查的主要题型有：由式选图，由图选式，图像变换，自觉地应用图像解题。考点热点一定掌握！1．作函数的图像⑴利用描点法作图步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（奇偶

2、性，单调性，周期性，最值）；④画出函数图像。⑵利用利用基本初等函数的变换作图平移变换：（可记为“左加右减”）（可记为“上加下减”）伸缩变换：对称变换：例．作出下列函数的大致图像：⑴；⑵；⑶；⑷。解：⑴先作出（）的图像，再作出其关于轴的对称图像即可，如图1-1；⑵先作出的图像，再将其右移一个单位得到的图像，最后把轴下方部分翻折到轴上方即可，如图1-2；⑶把化为，画出再将其左移一个单位，下移一个单位即可，如图1-3；⑷先作出的图像，再将其左移三个单位得到的图像，再作出其关于轴的对称图像，将其上移二个单位即可，如图1-4。点评：本题使用平移变换和对称变换。例已知函数f(x)=log2(

3、x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，求函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值。解：g(x)=2log2(x+2)(x>－2)F(x)=f(x)－g(x)=log2(x+1)－2log2(x+2)=log2∵x+1>0,∴F(x)≤=－2当且仅当x+1=,即x=0时取等号.∴F(x)max=F(0)=－2点评：本题使用伸缩变换。2．识图关于识图，高考中常用的题型有：①已知解析式，判断对应的图像；②已知图像，求其解析式；③已知图像，判断其有关性质。例（2003年北京高考题）．如图所示，是

4、定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x1和任意，恒成立”的只有（）f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)（A）（B）（C）（D）解：利用特殊值法，因为，令，则不等式变为，结合函数图像的凹凸性可知应选。3．函数的图像的性质的内在联系⑴若定义在上的函数关于直线或（）都对称，则为周期函数，是它的一个周期（未必是最小正周期，下同）。⑵若定义在上的函数关于点（，）和（，）（）成中心对称，则为周期函数，是它的一个周期。⑶若定义在上的函数关于点（，）成中心对称，又关于直线（）成轴对称，则为周期函数，是它的一个周期。⑷若奇函数或偶函数的图像中存在一条对称轴（），则

5、为周期函数。例（？年高考题）．定义在区间内的奇函数为增函数，偶函数在区间内的图像与的图像重合，设，给出下列不等式：①；②；③；④。其中成立的是（）.①和③；.②和③；.①和④；.②和④。解：∵是奇函数，∴，令可得，又在区间内是增函数，且，∴，由已知，有时，，得，，∴由①可得，∴①成立；由②可得，这与矛盾，∴②不成立；由③可得，∴③成立；由④可得，这与矛盾，∴④不成立；综上所述，只有①和③成立，故应选。4．函数图像的对称性及其证明⑴研究函数图像的对称性的注意事项①奇函数的图像关于原点对称；②偶函数的图像关于轴对称；③互为反函数的两个函数的图像关于直线对称；④和的图像关于轴对称；⑤和

6、的图像关于轴对称；⑥和的图像关于原点对称；⑦二次函数（）的图像关于直线对称；⑧定义在上的函数的图像关于直线对称，偶函数的图像关于轴对称是其特例。⑵证明函数图像的对称性，即证明其图像上的任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在图像上。常见函数图像对称性的判别方法有（由上述注意事项可得出）：图像关于原点对称；图像关于轴对称；图像关于对称；图像关于轴对称；图像关于直线对称。⑶证明曲线与的对称性，即证明上的任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点在上，同时上的任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点在上。例．设曲线的方程是，将沿轴、轴正向分别平行移动、单位长后，得到曲线。⑴写出曲线的方程；

7、⑵证明曲线与关于点对称；⑶如果曲线与有且仅有一个公共点，证明且。解：⑴曲线的方程为。⑵证明：在曲线任取一点，设是关于点的对称点，则有，，∴，，代入曲线的方程得，即，∴点在曲线上；同理可证，在曲线上的任一点关于点的对称点在曲线上；综上所述，曲线与关于点对称。⑶证明：∵曲线与有且仅有一个公共点，∴方程组有且仅有一组解，消去并整理得，此方程有且仅有一个解，∴且，即，∴且。5．函数图像的应用我们可以利用函数的图像的特征来研究方程和不等式的解集。例．已知是方程的一个根，是方程的一个根，那么