全国初中数学竞赛决赛试题及答案.doc

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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设，则代数式的值为().（A）24（B）25（C）（D）2．对于任意实数，定义有序实数对与之间的运算“△”为：（）△（）＝（）．如果对于任意实数都有（）△（）＝（），那么（）为().（A

2、）（0，1）（B）（1，0）（C）（﹣1，0）（D）（0，-1）3．若，，且满足，则的值为().（A）1（B）2（C）（D）4．点分别在△的边上，相交于点，设，则与的大小关系为().（A）（B）（C）（D）不能确定5．设，则的整数部分等于().（A）4（B）5（C）6（D）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是.7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数

3、的概率是.8．如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（）于两点.若，则的值为.（第10题）（第8题）9．若的最大值为a，最小值为b，则的值为.10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为.三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.12．如图，点为△的垂心，以为直径的⊙和△的外接圆⊙相交于点，延长交于点，求证：点为的中点.（第12题）13．如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（1）求证：∠=∠；（2）

4、若点的坐标为（0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式.（第13题）14．如图，△ABC中，，．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积．（第14题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A解：因为，，，所以2．B解：依定义的运算法则，有即对任何实数都成立.由于实数的任意性，得（）=（1，0）．3．C解：由题设可知，于是，所以，故，从而．于是．4．C（第4题）解：如图，连接，设，则，从而有．因为，所以．5．A解：当时，因为，所以.于是有，故的整数部分等于4．二、填空题6．3＜m≤4解：易知是方程的一个根，设方程的

5、另外两个根为，则，．显然，所以≥0，即，≥0，所以，≥0，解之得3＜m≤4.7．解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是.8．6解：如图，设点的坐标为，点的坐标为,则点的坐标为，点的坐标为因为点在双曲线上，所以．（第8题）由于，又因为，于是所以即9．解：由≥0，且≥0，得≤≤．．由于，所以当时，取到最大值1，故．当或1时，取到最小值，故．所以，．10．84解：如图，设BC＝a，AC＝b，则＝1225．①（第10题）又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以，即，故．②由①②得，解得a＋b＝49（另一个解－25舍去）

6、，所以．三、解答题11．解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得，两式相加得，即，所以或解得或又因为所以；或者，故，或29.12．证明：如图，延长交⊙于点，连接.因为为⊙的直径，（第12题）所以∠∠90°，故为⊙的直径.于是.又因为点为△的垂心，所以所以∥，∥，四边形为平行四边形.所以点为的中点.13．解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为,.由（第13题）得，于是，即.于是又因为，所以.因为∠∠，所以△∽△，故∠=∠.（2）解法一设，，不妨设≥>0，由（1）可知∠=∠，=，=

7、，所以=，=.因为∥，所以△∽△.于是，即，所以．由（1）中，即，所以于是可求得将代入，得到点的坐标（，）.再将点的坐标代入，求得所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或.解法二设直线的函数解析式为,其中.由（1）可知，∠=∠，所以.故.将代入上式，平方并整理得，即.所以或又由(1)得，.若代入上式得从而.同理，若可得从而.所以，直线的函数解析式为，或.14．解：如图，作△