实函ch1课后习题解答(学生用).doc

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1、实变函数习题集第一章集合及其基数§1.1集合及其运算1、判断题(1)设则（√）。(2)下若集列满足则（√）。(3)设则的下极限为（×）。2、单项选择(1)设是一集列，则下述等式中(C)是正确的。A、B、C、D、(2)下述关系中，(B)是正确的。A、B、C、(3)设是一列集合，其中，则(C)。A、BB、CC、D、(4)设是定义在集合上的函数列，则下述等式中(A)是正确的。A、B、C、D、3、填空题(1)设集合则。(2)设则。(3)、则=。(4)、集簇的交=。(5)、设，，=不存在。(6)、设则。(7)、设,则=。

2、(8)、。(9)、设则。4、(P10.1)证明的充要条件是。证明因而5、(P10.4)证明的充要条件是。证明因而一方面另一方面6、(P11.7)设是定义于上的实函数，为一常数，证明，。证明7、证明：(1)，(2)。证明(1)由上极限的定义,有(2)由下极限的定义,有8、叙述题（不需证明）：叙述集列的上、下极限集和集簇的交、并定义，并说明它们之间的关系。解设是一集列，则集列的上极限定义为，下极限集定义为。设事宜集合，集簇的交定义为，集簇的并定义为。显然。§1.2n维空间中的点集1、判断题（要说明理由）设、是两个非

3、空集合，，则存在的子集与对等（√）。注：自然数集，实数集，有理数集，则且。2、单项选择：设是映射,,则下述关系中(A)是正确的。A、B、C、D、以上都不对证明因为。3、填空题(1)试找出一个(0,1)与[0,1]之间的1－1对应：_________。解上的有理数全集，则是4、构造及计算题(1)、构造区间至的一个的一一对应。法一由，其中对。显然是和的1－1对应。上的有理数全集，则是将上述一一对应复合后即得与的一一对应。法二由，其中对。显然是和的1－1对应。如果我们令中的分别和中的对应，而将中的其余的和中的同一对应

4、，则(0,1)～[0,1]。将上述一一对应复合后即得与的一一对应。(2)、用可数个开区间的集合运算表示闭区间。()(3)、构造与之间的一一对应。解由，即建立了与的一一对应；由，即建立了与的一一对应；由，即且建立了与的一一对应。将上述一一对应复合后即得与的一一对应。(4)、写出与无理数之间的一个一一对应表达式。解设是的可数子集，是有理数全体，作映射如下：则是从到之间的一个一一对应。(5)、(P17.1)用解析式给出和之间的一个1－1对应。解。对。显然是和的1－1对应。5、(P17.2)证明：只要就有。解。对显然是

5、和的1－1对应。6、设为三个集合，且，证明：。法一见课件第二节推论1。法二由基数定义得由Benstein定理得。§1.3可数集合1、判断题有理数为端点的区间全体是可数集（√）。注：2、填空题平面上顶点是有理坐标的一切三角形所成集合的基数=_a__。解设三角形的三个顶点为，则3、(P20.1)证明平面上坐标为有理数的点构成一可数集合。证明因Q是一个可数集合(证明见本节教学课件例3)，从而可数。4、(P20.2)以数直线上的互不相交的开区间为元素的任意集合至多含有可数多个元素。证明见本节教学课件例6。5、(P21.

6、3)证明有理系数代数多项式全体是可列集。证明记为所有有理系数代数多项式全体所成之集，设且是次有理系数多项式的全体，由个独立的记号所决定的，即次多项式有个有理系数，其中首项系数可取除0以外的一切有理数，其他系数可取一切有理数。因此每个记号独立地跑遍一个可数集，即。则故为可数个可数集之并，故为可列集，即或记为所有有理系数代数多项式全体所成之集。为所有有理系数的n次代数多项式全体所成立之集,,故且可数个可数集之并，故为可列集。6、(P21.5)设是一无穷集合，证明必有，使且可数。证明(见本节教学课件提示)从中取一可数

7、子集，取，，皆可数.从而可取。由定理9可知。§1.4不可数集合1、判断题(1)无限集减去无限集得到有限集。（×）(2)与的势是不等的。（×）说明：和的势均为连续统势。(3)如果是的真子集，那么。（×）(4)设是不可数集，是可数集，则与的势相等。（√）(5)设为不可数集，则中至少有一个为不可数集。（√）2、单项选择(1)设是有理数集，则(C)是正确的。A、B、C、D、以上都不对(2)以下集合中，(B)是不可数集合。A、所有系数为有理数的多项式集合B、中的无理数集合C、单调函数的不连续点所成集合(p21.4)D、以

8、直线上互不相交的开区间为元素的集合(3)设为不可数集，为可数集，则为（C）。A、B、C、大于D、不能确定(4)下列断言(D)是错误的。A、无穷个可数集的并不一定是可数集B、无穷集和无穷集的并不一定是不可数集C、任一无穷集都包含一个可数子集D、设和为两个可数集，若为的真子集，则。3、叙述题（不需证明）：设一旅馆有无限多房间，编号为，所有房间都住了人（一人一间），试问若(1)又来了3个人；