实函ch3课后习题解答(学生用).doc

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1、实变函数习题集第三章测度理论§3.1开集的体积§3.2点集的外侧度1、判断(1)若为中无限集且，则为可数集。（）×；解cantor集的势为，，是一个不可数的无限集。(2)若集合不可测,则。（）√；解否则若，则，从而可测。(3)若，则未必可测（）。×；解零测集一定可测。(4)设是中的闭集，且又是零集，则必为疏朗集（）。√；证明因是中的闭集，且又是零集，此时该闭集必不包含任何内点，否则存在为的内点，即，则，矛盾，因而是疏朗集。(5)设为零集，则其闭包仍为零集（）。×；解，不一定有。比如有理数全体是可列集，从而是直线上的零集，但其闭包是全直线，显然并非零集。(6)对任何集合，恒有型集，使

2、（）√；(证见9题)2、设，且，试证明：对任意的，有。证明因，则由外侧度的单调性和次可加性，有则。3(p57.2)、证明：若E为有界集，则。证明有界，必有有限开区间使因而4(p57.1)、设，证明：。证明设是任一列开区间，并且由外测度次可加性，显然有所以反之，由外测度定义，对任给的存在开集，使。由p36的6题(§2.4th1)，存在至多可数多个彼此互异的开区间列，使。即。所以。故。5(p57.3)、证明中任何可数点集的外测度都是零。证明设为中任一可数点集，下证记，则对任意，存在开区间，，且及由的任意性可得6、平面上的有理点集的外测度为0（用定义证明）。证明记平面上的有理点集为，则为

3、可数集，不妨设为其中，且，，对平面上每个有理点作区间长度为的开区间则；从而，即平面被分成许多小方块，且每个小方块的面积为且。故，再由的任意性，有。7、证明中的平面的外测度为0（用外测度定义证明）。证明令中的平面为，平面中坐标都为整数的点的全体为，由于为可数集，可令，其中。，作开区间从而且。故，再由的任意性，有。8(p57.4)、证明：对于一维空间中任何外测度大于零的有界集合及任意常数，只要，就有，使。证明设，则。令。定义如下函数。由外测度的单调性知：为上的递增函数。下证是上的连续函数。因为当时，从而时,，所以，即是右连续的。同理可证明是左连续的。所以是上的连续函数。由于，；由闭区间

4、上连续函数介值定理可得：对，存在，使，即。，则。9、证明：对于任意集都可找到型集，使而且。证明对任意自然数n，由外测度的定义，有开区间组,。。10(P58.9)、设，证明存在的不相交的子集使得。证明见讲稿。11、设是中一列点集，证明:。证明见本节教学课件。§3.3可测集合及测度1、判断(1)存在可测集列,使或可测。()√；(2)若，则是至多可数集（测度为零的点集一定可列）。（）×；解Cantor集。(3)是可测集⇔存在型集,使。（）√；(4)可测集⇔存在型集,使。()√；(5)若是非空完备集，则。（）×；解Cantor集。(6)是可测集存在开集，使。（）×；(7)是可测集存在闭集，

5、使．（　　　）×；(8)设且可测，即为单调递减的可测集列，则（）。×；解不正确；(9)，若存在，使，则可测。（）×；解不是存在，而是对任意都要满足，才可测。(10)设则。（）×；解。(11)直线上的可测集全体的势为连续势。（）×；其势为(p69.15，p68.7)(12)设，则一定无内点。（）√；证明否则有内点，且，使，从而，矛盾。(13)数直线上的非空有界开集不可能是零测集。（）√；2、填空题(1)设是一列递降的可测集合；,令,则当______________。（内极限定理）(2),而且,那么必定有____________________可测集（填是或不是）。是（因为）3、单项选

6、择(1)下列断言中()是错误的。D；A、零测集是可测集；B、零测集的任意子集是可测集；C、可数个零测集的并是零测集；D、任意个零测集的并是零测集；(2)设是一列可测集，且，则有（）。C;A、B、C、D、以上都不对(3)以下断言中，()是正确的。D；A、闭集的任意一点均为聚点B、若可测集与对等，则（Cantor集）C、零测集的闭包也是零测集（上的的闭包为）D、内点必是聚点(4)设是一列可测集，，则有()3B;（外极限定理）A、B、C、D、以上都不对(5)下列命题中正确的是（）D；A、设为非空可测集，则必有；（Cantor集）B、无界可测集必有正测度；（为中的有理数集，则无界，但为可数

7、集，从而）C、设为无界可测集，则必有；（为中的有理数集，则无界可测，但）D、康托（Cantor）集是一个疏朗，完备的可测集。(6)设为任意两个集合，且，则（）B；A、（外侧度不满足可加性）B、C、D、,T为任意集合(7)下面关于Cantor集的性质哪一条是不正确的()。C；A、Cantor集为完备集B、Cantor集无内点C、Cantor集的测度D、Cantor集(8)下列断言中()是错误的D；A、有理点集为零测集B、Cantor集为零测集C、零测集的子集是零测集D、