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《复变函数(第四版)课后习题答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。（3）(3+4i)(2−5i)；（4）i8−4i21+i13+2i13i1−i（1）；（2）−；i2i3+2i=(3+2i)(3−2i)=1(3−2i)13−2i13解（1）所以⎧1⎩3+2i⎭13⎫=⎬3，Im⎧⎨⎬=−21⎫Re⎨,13⎩3+2i⎭2213+2i=113+2i=⎛⎜3⎞⎟+⎜⎛−3⎞13(3+2i)，，13⎝13⎠⎝13⎠⎟=13Arg⎜⎛1⎝3+2i⎠⎟⎞=arg⎜⎛1⎝3+2i⎠⎟⎞+2kπ2=−arctan+2kπ,k=0,±1,±2,"313i−i3i(1+i)=−i−1(−3+3i)=3−5
2、（2）−1−i=i(−i)−(1−i)(1+i)i,i222所以⎧13i⎫3,Re⎨−⎩i1−i⎭⎬=2⎧13i⎫⎬=−5Im⎨−⎩i1−i⎭222⎛13i⎞⎟=+i5，−313i1−i=⎜⎟+⎜−⎟=34，⎛3⎞⎛5⎞⎜−⎝i1−i⎠⎛13i⎞22i⎝2⎠⎝2⎠2⎛13i⎞⎟+2kπArg⎜−⎟=arg⎜−⎝i1−i⎠⎝i1−i⎠=−arctan5+2kπ,k=0,±1,±2,".3（3）(3+4i)(2−5i)=(3+4i)(2−5i)(−2i)=(26−7i)(−2i)2i(2i)(−2i)4=−7−26i=−7−13i22所以⎧(3+4i)(2−5i)⎫Re⎨⎬=−7，
3、⎩2i⎭2⎧(3+4i)(2−5i)⎫Im⎨⎬⎭=−13，⎩2i1
⎡(3+4i)(2−5i)⎤⎥=−7+l3i2⎢2i⎣⎦(3+4i)(2−5i)=529，2i2(3+4i)(2−5i)2i(3+4i)(2−5i)⎤26−π+2kπ⎡⎤⎡Arg=arg+2kπ=2arctan7k=0,±1,±2,".⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥2i⎦=arctan267+(2k−1)π,（4）i)4−4(i)10i+i=(−1)4−4(−1)10i+i822−4i21+i=(i=1−4i+i=1−3i所以Re{i8−4i21+i}=1,Im{i8−4ii}21+=−3⎛⎝⎞⎠i13i，
4、i8−4i21+i
5、
6、=10⎜8−4i21+i⎟=+Arg(i8−4i21+i)=arg(i8−4i21+i)+2kπ=arg(1−3i)+2kπ=−arctan3+2kπk=0,±1,±2,".x+1+i(y−3)=1+i成立，试求实数x,y为何值。2．如果等式解：由于5+3ix+1+i(y−3)=[x+1+i(y−3)](5−3i)5+3i(5+3i)(5−3i)=5(x+1)+3(y−3)+i[−3(x+1)+5(y−3)]34=1[5x+3y−4]+i(−3x+5y−18)=1+i34比较等式两端的实、虚部，得⎧5x+3y−4=34⎧5x+3y=38−3x+5y−18=34或⎨⎩−3x+5
7、y=52⎨⎩解得x=1,y=11。i3．证明虚单位i有这样的性质：-i=i-1=。4．证明1)
8、z
9、=zz2#6)Re(z)=1(z+z),Im(z)=1(z−z)22i2
证明：可设z=x+iy，然后代入逐项验证。=
10、z
11、5．对任何z，z22是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些z值才成立？解：设z=x+iy，则要使z2=
12、z
13、2成立有−y=x+y,xy=0。由此可得z为实数。22x2−y2+2ixy=x2+y2，即x226．当
14、z
15、≤1时，求
16、zn+a
17、的最大值，其中n为正整数，a为复数。iarga+
18、a
19、≤1+
20、a
21、，且当z=e时，有n解：由于zn+a≤
22、z
23、nn
24、⎛⎜⎝iarga⎞⎟⎟⎠⎜+
25、a
26、eiarga=(1+a)eiarga=1+
27、a
28、
29、zn+a
30、=en故1+
31、a
32、为所求。8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。（1）i；（2）-1；（3）1+3i；(cos5ϕ+isin5ϕ)22i（4）1−cosϕ+isinϕ(0≤ϕ≤π)；（5）；（6）(cos3ϕ−isin3ϕ)−1+i3iπ解：（1）i=cosπ+isinπ=e；222（2）−1=cosπ+isinπ=eiπ⎛⎞⎟⎟⎠πi13=2⎜⎛cosπ+isin⎟=2e3π⎞3⎠（3）1+i3=2⎜⎜2+i；2⎝3⎝2ϕ+i2sinϕcosϕ=2sinϕ⎛2⎝sinϕ+icos
33、ϕ⎞2⎠（4）1−cosϕ+isinϕ=2sin⎜⎟22+isinπ122=2sinϕ⎛⎜cos2⎝π−ϕ−ϕ⎞⎟=2sinϕ2e,(0≤ϕ≤π)；iπ−ϕ222⎠⎛⎞2i−1+i=12i(−1−i)=1−i=2⎜−i1（5）⎟⎟⎜2⎝22⎠2⎜⎛cosπ−isin⎟π⎞4⎠=⎝4−iπ=2e4(cos5ϕ+isin5ϕ)(cos3ϕ−isin3ϕ)23=(ei5ϕ)(ϕ)23=ei10ϕ/e−i9ϕ=ei19ϕ−i3/e（6）3
