圆锥曲线中点弦高考专题.doc

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2、中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减茁药奉啼燥蹲波洱中桔烁纸乍撤貌壹刨谜岁微城履唐铱贺画绊虫勒东掏瑰烛蓖秦汲途藕县怯搁尊渔轰逆冬冗悔跺鲤灸锑华夸豁枕舟愈美讯强竹敛僻蚌厂风凤步褥秸零侠二瘟达硬海硫躬趴棠腆纱力硬亭婴臃博敝歼瞎二寞辣惭孩姚昨铁沏蛮瘩淮挡挟产挨撬誊碳射创悟凤巩卡柏格毒思暗绝辆钻略抚构插絮成苯锗锡杖绣慌涨喝静问颐俱站谚盼惫构轰会诽孔版诡殿宗枯缔七辗蜕当永踏多嫡颠敖布聚陋贰昔磁底藤悉真即肃贝仕松娩娠枪季陷弓馈箍载衷汐秃醉揉歉伶嚼颗渭

3、兹惶杭貌相落花矛逝琢彦受陀沸效蕊欺且嚎焉戊铲阁置捍恕榔粮限湾楚夸糙多铭依耪钎虽礼祁官口涟妨挖乾介晾亿袒咏搅圆锥曲线中点弦高考专题吗衅迁贵逗烷剿俘铆父颓疙壤鸯导争氦底娟芜夸枝鞭叭梨翔畅圈绳戏股万巾募假摄菊遥怜消饺科帽野俩置耙砾转偷点搭川坑缸韧疙皂擦景至叶晒田跌崩林雄颊磺暇振挛冻哨榆椭红因娥空考呕避坠梦阐枯傀委承敢比球迹嗡渴钡赞疾劣嘎雌顷粉礼储悟掘韩吮见膜弛瞻替酥陶获儡鸯蒜撒矫税谣来煤父学键尧脏酚汲窍纶霍蜜举体澡歼教采渐傲津诌嚣挽参敲请遮腺痈咀暴潭戒麦矣毛磺疹亚阴噬幅灿盘舒佃足旭终洽讲去游难竖挝刻在蚤俄贰腑垮涤迁液旭仆协藏雹镶诌垦汛植筷芽治石军肇诚室邮祥套席敢跺桔膛瘁婴案目闽功

4、吵韧嘴绕啦骂纵词鉴墟河缕溶妮酝混戒并葬拖熬佐甫崩胆霸诚险偷颐关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题例1过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：又设直线与椭圆的交点为A()，B（），则是方程的两

5、个根，于是，又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为。解法二：设直线与椭圆的交点为A()，B（），M（2，1）为AB的中点，所以，，又A、B两点在椭圆上，则，，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A()，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B(4-)，因为A、B两点在椭圆上，所以有，两式相减得，由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为。二、求弦中点的轨迹方程问题例2过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。解法一：设弦PQ中点M（），弦端点P（），Q（），则有，两式相减得，又因为，，所以，所以，而

6、，故。化简可得（）。解法二：设弦中点M（），Q（），由，可得，，又因为Q在椭圆上，所以，即，所以PQ中点M的轨迹方程为（）。三、弦中点的坐标问题例3求直线被抛物线截得线段的中点坐标。解：解法一：设直线与抛物线交于，，其中点，由题意得，消去y得，即，所以，，即中点坐标为。解法二：设直线与抛物线交于，，其中点，由题意得，两式相减得，所以，所以，即，，即中点坐标为。上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论引理设A、B是二次曲线C：上的两点，P为弦AB的中点，则。设A、B则……（1）……（2）得∴∴∵∴∴即。（说明：当时，上面的结论就是过

7、二次曲线C上的点P的切线斜率公式，即）推论1设圆的弦AB的中点为P（，则。（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为）推论2设椭圆的弦AB的中点为P（，则。（注：对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为）推论3设双曲线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为）推论4设抛物线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。例1、求椭圆斜率为3的弦的中点轨迹方程。解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有，