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1、锥曲线中点弦高考专题关于圆锥曲线的中点弦问］直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型:(1)求中点弦所在直线方程问题;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题例1过椭圆注“内一点M(2,1)引一164条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。°解法一：设所求直线方程为y-l=k(x-2),代入椭圆方程并整理得：(4k2+l)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1尸-16=0又设直线与椭圆的交点为A(s)
2、,B(“)，则"2是方程的两个根，于是8(2—幻心2=4宀］，又M为AB的中点，所以宁=誓羊=2,24L+1解得—P故所求直线方程为“2旷4=0。解法二设直线与椭圆的交点为A(“J,B(入2』2),M(2,1)为AB的中点,又A、B两点在椭圆上,则+4y「=169打+4y22=16,两式相减得叶-x22)+4(y,2-y22)=0,所以厶即斤丄，■^a.-x24(>-1+y2)2i2故所求直线方程为x+2y-4=0o解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y),因为A、B两点在椭圆上，所以有x2+4y2=16(4-x)2+4(
3、2-y)2=16'两式相减得x+2y-4=0f由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为x+2y-4=0o二、求弦中点的轨迹方程问题例2过椭圆壬+「1上一点P(-8,0)作直(>43o线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。解法一：设弦PQ中点M(“),弦端点P(“‘儿)，Q(尤2‘儿)9则有卜二：心篇两式相减得+16〉丁=5769(%!2-x22)+16(j2-,v22)=09又因为Xi+x2=2x9X+y2=2yf所以9・2x（e-心）+16・2〉0]-儿）=0,所以g-宀而仏x}_勺16y士知故斜士。化简可得9x2+72x+16y2=0（心_8）o解法―:设弦中点M（x,y）,Q（
4、）,由x=y=~口J=2x+8f”=2y,2til又因为Q在椭圆上，所以^<=i,643b4（x+4）24y2t+=19M36所以PQ中点M的轨迹方程为=ilo9（xh_8）o三、弦中点的坐标问题例3求直线―I被抛物线V，=4文截得线段的中点坐标。解：解法一：设直线〉—与抛物线）-牡交于其中点》（“,儿），由题意得y=x-y1=4x消去y得（x-1）2=4a-,即x2-6x+l=0,所以4=人=39y0=x0-l=2,即中点坐标为（3,2）。解法二：设直线—与抛物线j交于心』）,阻小），其中点叫，儿）,由题意得丸W,l>r22=4x2两式相减得y22-yi2=4（x2-x,）9所以2心+
5、如七一“所以Ji+y2=4>即儿=2,心=儿+1=3,即中点坐标为（3,2）O上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看个结论引理设A、B是二次曲线C3+cF+dw+f=o上的两点,P（“）为弦AB的中点,则kAB=-第:站+5）。设Aw」)、Bg’y?)则廿+cX+d,+础+f=o(1)Ais2+Cy22+Dx2+Ey2+F=0(2)⑴-⑵得A(X]+x2XXj-x2)+C(yi+y2)(yi-y2)+D(xi-x2)+E(y,-y2)=02^0(^-x2)+2Cyii(yi-y2)+D(xi-x2)+E(yl-y2)=0(2Ar0+DX^-x2)+(2
6、Cy0+E)®-比)=0x_『2_2Ay°+D・.・2°°+Eh0.I.Ix.-x2=~2Cyo+E即n=2Ar。+D^一吋Z。(说明；当a—B时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P®儿)的切线斜率公_2Ax0+D式，即=~2Cy^E）推论1设IISIx2+y2+Dx+Ey+F=0的弦AB的中点为P（%儿）（儿工0）,则2x0+D2y°+E2x（）+D2y°+E。（假设点p在圆上时,则过点p的切线斜率为）推论2设椭X2y27卞的弦AB的中点为pa°‘）（yo）,贝广"=弓弋。（注：对aWb也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为推论3设双曲线卩一歹"的弦AB的中点为,_b'x0pa。
7、*。）（凡h°）则心厂产•兀。（假设点P在双曲线上,k-bl."则过P点的切线斜率为7无）推论4设抛物线宀2“的弦AB的中点为P（Xo，）'o）（儿工°）则Y。（假设点p在抛物线上,k_P、则过点P的切线斜率为『我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。?2例1、求椭圆才忘T斜率为3的弦的中点轨迹方程。解：设P(x,y)是所求轨迹上的任一点，16x则有丟匚，故所示的轨迹方程为16x+75y=0V24?屈T例
