【苏教版】高中数学新学案选修2-1同步讲义：第3章　空间向量与立体几何 3.1.5_含答案.doc

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1、3.1.5　空间向量的数量积学习目标　1.理解空间向量的夹角及有关概念．掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途.3.会用坐标法判断空间向量的平行、垂直，会求空间两向量的夹角．知识点一　空间向量的夹角1．定义：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．2．图形表示：角度表示〈a，b〉＝0〈a，b〉是锐角〈a，b〉是直角〈a，b〉是钝角〈a，b〉＝π3.范围：0≤〈a，b〉≤π.4．空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.知识点二　空间向量

2、的数量积思考　两个向量的数量积是数量，还是向量？答案　数量，由数量积的定义a·b＝

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉，知其为数量而非向量．梳理　(1)定义：①设a，b是空间两个非零向量，把数量

7、a

8、

9、b

10、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积．②记作：a·b，即a·b＝

11、a

12、

13、b

14、cos〈a，b〉．(2)运算律：交换律a·b＝b·a数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)坐标表示：已知非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则①a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.②a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋

15、y1y2＋z1z2＝0.③

16、a

17、＝＝.④cos〈a，b〉＝.知识点三　空间中两点间的距离公式思考　空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？答案　空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关．梳理　在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝.1．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(×)2．〈a，b〉与(a，b)都表示直角坐标系下的点．(×)3．在△ABC中，〈，〉＝∠B.(×)4．对于向量a，总有

18、a

19、2＝a2.(√)类型一　空间向量的数量积运算例1　(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予

20、说明．①p2·q2＝(p·q)2；②

21、p＋q

22、·

23、p－q

24、＝

25、p2－q2

26、；③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直．解　①此命题不正确．∵p2·q2＝

27、p

28、2·

29、q

30、2，而(p·q)2＝(

31、p

32、·

33、q

34、·cos〈p，q〉)2＝

35、p

36、2·

37、q

38、2·cos2〈p，q〉，∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2.②此命题不正确．∵

39、p2－q2

40、＝

41、(p＋q)·(p－q)

42、＝

43、p＋q

44、·

45、p－q

46、·

47、cos〈p＋q，p－q〉

48、，∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，

49、p＋q

50、·

51、p－q

52、＝

53、p2－q2

54、.③此命题正确．∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(

55、a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直．(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，

56、a

57、＝3，

58、b

59、＝4，求：①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b)．解　①∵a·b＝

60、a

61、

62、b

63、cos〈a，b〉，∴a·b＝3×4×cos120°＝－6.②∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3

64、a

65、2＋4a·b－4

66、b

67、2＝3

68、a

69、2＋4

70、a

71、

72、b

73、cos120°－4

74、b

75、2，∴(3a－2b)·(a＋2b)＝3×9＋4×3×4×－4×16＝27－24－64＝－61.反思与感悟

76、　1.已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．2．如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝

77、a

78、2及数量积公式进行计算．跟踪训练1　已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

79、a＋3b

80、＝________.答案　解析　∵

81、a＋3b

82、2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos60°＋9＝13，∴

83、a＋3b

84、＝.命题角度2　利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2　已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面ABB1A1的中心，F为A1D1的中点．试计

85、算：(1)·；(2)·；(3)·.解　如图，设＝a，＝b，＝c，则

86、a

87、＝

88、c

89、＝2，

90、b

91、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝·(＋)＝b·＝

92、b

93、2＝42＝16.(2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝

94、c

95、2－

96、a

97、2＝22－22＝0.(3)·＝(＋)·(＋)＝·＝(－a＋b＋c)·＝－

98、a

99、2＋

100、b

101、2＝2.反思与感悟　两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．跟踪训练2　已知正四面体OABC的棱长为1，