【苏教版】高中数学选修2-1同步讲义：第3章　空间向量与立体几何 3.2.3_含答案.doc

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1、3.2.3　空间的角的计算学习目标　1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．知识点一　空间角的计算(向量法)空间三种角的向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝

2、cos〈a，b〉

3、＝.直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为e，平面α的法向量为n，则sinθ＝

4、cos〈e，n〉

5、＝二面角设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则

6、cosθ

7、＝

8、co

9、s〈n1，n2〉

10、＝.[0，π]知识点二　向量法求线面角、二面角的原理1．向量法求直线与平面所成角的原理条件直线l(方向向量为e)与平面α(法向量为n)所成的角为θ图形关系〈e，n〉∈，θ＝－〈e，n〉〈e，n〉∈，θ＝〈e，n〉－计算sinθ＝

11、cos〈e，n〉

12、2.向量法求二面角的原理条件平面α，β的法向量分别为n1，n2，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈n1，n2〉＝φ图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ1．两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(×)2．若向量n1，n2分别为二面

13、角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝.(×)3．直线与平面所成角的范围为.(×)类型一　求两条异面直线所成的角例1　如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．解　以O为坐标原点，，的方向为x轴，y轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)

14、．∴

15、cos〈，〉

16、＝＝＝.∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.反思与感悟　在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别．跟踪训练1　已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．解　不妨设正方体的棱长为2，以D点为坐标原点，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，

17、E(1,0,2)，F(1,1,2)，则＝(－1,0,2)，＝(1，－1,2)，∴

18、

19、＝，

20、

21、＝，·＝－1＋0＋4＝3.又·＝

22、

23、

24、

25、cos〈，〉＝cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.类型二　求直线和平面所成的角例2　已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．解　以A点为坐标原点，AB，AA1所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，方法一　取A1B1的中点M，则M，连

26、结AM，MC1，有＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)．∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角．由于＝，＝，∴·＝0＋＋2a2＝，

27、

28、＝＝a，

29、

30、＝＝a，∴cos〈，〉＝＝.∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝30°，又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.方法二　＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，＝.设侧面ABB1A1的法向量

31、为n＝(λ，y，z)，∴即∴y＝z＝0.故n＝(λ，0,0)．∵＝，∴cos〈，n〉＝＝－，∴

32、cos〈，n〉

33、＝.又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.反思与感悟　用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再进行换算．跟踪训练2　如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直

34、线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．解　由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)，∴