(no.1)2013年高中数学教学论文 一类递推数列问题的解决与延伸

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1、知识改变命运百度提升自我本文为自本人珍藏版权所有仅供参考一类递推数列问题的解决与延伸已知数列{an},a1=a,an+1=pan+q(p≠1,q≠0是常数),求数列{an}的通项公式an,是高中常见的递推数列问题.这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式，或归纳猜想证明.例１.已知数列中，,求的通项公式．解析:解法一．（待定系数法）转化为型递推数列．∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．解法二．（差分法形成差数列）转化为型递推数列．∵=2an+1(n≥1)　　①　　∴=2an

2、+1+1　　②②－①，得(n≥1)，故｛｝是首项为a2-a1=2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三．用迭代法．解法四.归纳猜想证明法．,猜想：.用数学归纳法证明(证明略).这类递推数列解决后,其他类型的递推可以转化并解决.类型一:这类数列可变换成，令，则转化为型.例2.设数列求数列的通项公式．解析:∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为4用心爱心专心知识改变命运百度提升自我，公比为的等比数列，故，即，从而．类型二:若取倒数,得，令，从而转化为型.例3.已知数列中满足，，求数列

3、的通项.解：数列中，，，即数列是以公差为3的等差数列.类型三:这类数列可取对数得，从而转化为数列.例4.已知数列中满足，求数列的通项.解:，是以为首项,5为公比的等比数列.类型四:可转化为例５.设数列求数列的通项公式．分析:设法把分给.转化为4用心爱心专心知识改变命运百度提升自我解:由可得设故即用累加法得　解决这类问题,还可使用下面的定理定理:在数列中，，为初始值．它的特征方程的两根为，则（１）当时，；（２）当时．（证明略）解法2:递推关系对应的特征方程为:则由得:例６:在数列求数列的通项公式．解:令使数

4、列是以为公比的等比数列(待定)．即∴对照已给递推式，有即的两个实根．4用心爱心专心知识改变命运百度提升自我从而∴　　①或　　②由式①得；由式②得．消去．4用心爱心专心