2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数教学案含解析理.pdf

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1、第四节二次函数与幂函数121[考纲传真]1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x为f(x)的零点．1212(2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y

2、＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R4ac－b24ac－b2值域，＋∞－∞，4a4abb在－∞，－上减，在－∞，－上增，2a2a单调性bb在－，＋∞上增在－，＋∞上减2a2a奇偶性当b＝0时为偶函数b对称性函数的图象关于直线x＝－对称2a2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性1y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1质2图象定义域RRR{x

3、x≥0}{x

4、x≠0}值域

5、R{y

6、y≥0}R{y

7、y≥0}{y

8、y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇(－∞，0)(0，(－∞，0)和单调性增增增＋∞)增减，(0，＋∞)减公共点(1,1)[常用结论]1．与二次函数有关的恒成立问题设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则a＞0(1)f(x)＞0恒成立的充要条件是；Δ＜0a＜0(2)f(x)＜0恒成立的充要条件是；Δ＜0fm＞0(3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是；fn＞0fm＜0(4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是.fn＜

9、02．幂函数y＝xα(α∈R)的图象特征(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()4ac－b2(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[

10、a，b]的最值一定是.()4a(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．()(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为()A.3B．±3C．±9D．91D[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝.21所以f(x)＝x＝x，2故f(m)＝m＝3m＝9.]3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()11A.0，B.－∞，－20

11、2011C.，＋∞D.－，02020C[由题意知a＞0，即a＞0，得a＞201.]Δ＜0，1－20a＜0，4．(教材改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜bD[由图象知②③的指数大于零且b＞c，①的指数小于零，因此b＞c＞a，故选D.]5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.4[f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，由f(x)是偶函数知a－4＝0

12、，所以a＝4.]幂函数的图象与性质1．幂函数y＝f(x)的图象过点(8,22)，则幂函数y＝f(x)的图象是()ABCDC[令f(x)＝xα，由f(8)＝22得8α＝22，311即23α＝2，解得α＝，所以f(x)＝x，故选C.]2222213331112．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()252A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c212113333311111111D[a＝＝，b＝＝，c＝，由＜＜得b＜a＜c，故选D.]

13、2452522542123．(2019·兰州模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，，则k＋α等于()221A.B．123C.D．22C[由幂函数的定义知k＝1.12又f＝，22α1213所以