2020年高考数学一轮复习课时分层训练39数学归纳法理北师大版_4186.pdf

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1、课时分层训练(三十九)数学归纳法A组基础达标一、选择题1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是()A．1B．2C．3D．4C[∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．∴n的第一个取值应是3.]2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于()＋A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对B[本题证的是对

2、n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．]13．在数列{a}中，a＝，且S＝n(2n－1)a，通过求a，a，a，猜想a的表达式为()n13nn234n【导学号：79140216】11A.B.(n－1)(n＋1)2n(2n＋1)11C.D．(2n－1)(2n＋1)(2n＋1)(2n＋2)1111111C[由a＝，S＝n(2n－1)a求得a＝＝，a＝＝，a＝＝.猜想13nn2153×53355×74637×91a＝.]n(2n－1)(2n＋1)4．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：＋(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n

3、＝k(k∈N)时，不等式k2＋k＜k＋1成立，当n＝k＋1时，＋(k＋1)2＋k＋1＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1.所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确D[当n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．]5．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nn2＋n＋2C.D．n2＋n＋12C[1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分

4、成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面n(n＋1)n2＋n＋2分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．]22二、填空题n4＋n26．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加2上的项为________．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2[当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.]a7．数列{a}中，已知a＝2，a＝n(n∈N)，依次计算出a，a，

5、a，猜想a＝________.n1n＋13a＋1＋234nn2222272132[a＝2，a＝＝，a＝＝，a＝＋1＝.6n－5123×2＋17321342193×＋13×7132由此猜想a是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列，所以a＝.]nn6n－58．凸n多边形有f(n)条对角线．则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)与f(n)的递推关系式为________．f(n＋1)＝f(n)＋n－1[f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.]三、解答题11119．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N，n≥2).2232n2n＋【导学号：79140217】1

6、513[证明](1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．22422(2)假设n＝k时命题成立，即11111＋＋＋…＋<2－.2232k2k1111111111当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋2232k2(k＋1)2k(k＋1)2kk(k＋1)kk1－k＋11＝2－命题成立．k＋1由(1)(2)知原不等式在n∈N，n≥2时均成立．＋10．数列{a}满足S＝2n－a(n∈N)．nnn＋(1)计算a，a，a，a，并由此猜想通项公式a；1234n(2)证明(1)中的猜想．[解](1)当n＝1时，a＝S＝2－a，∴a＝1；11113当n＝2时，a＋a＝S＝2×2－a，∴a＝；12

7、22227当n＝3时，a＋a＋a＝S＝2×3－a，∴a＝；1233334当n＝4时，a＋a＋a＋a＝S＝2×4－a，12344415∴a＝.482n－1由此猜想a＝(n∈N)．n2n－1＋(2)证明：①当n＝1时，a＝1，结论成立．1②假设n＝k(k≥1且k∈N)时，结论成立，＋2k－1即a＝，那么n＝k＋1时，k2k－1a＝S－S＝2(k＋1)－a－2k＋a＝2＋a－a，k＋1k＋1kk＋1kk