2019-2020学年数学人教A版选修4-5提能训练：第4讲 第2课时用数学归纳法证明不等式 Word版解析版.pdf

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1、第四讲第2课时A．基础巩固1．(2017年驻马店月考)某个命题和正整数n有关，如果当n＝k(k为正整数)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝7时命题不成立，那么可以推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝8时该命题不成立D．当n＝8时该命题成立【答案】A【解析】假设n＝6时命题成立，则可推得n＝7时命题成立．现n＝7时命题不成立，故n＝6时命题不成立．故选A．1112．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，不等式在n＝k＋232n－11时的形式是()111A．1＋＋＋…＋

2、＜k＋1232k1111B．1＋＋＋…＋＋＜k＋1232k－12k＋1－111111C．1＋＋＋…＋＋＋＜k＋1232k－12k2k＋1－11111111D．1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＋＜k＋1232k－12k2k＋12k＋1－22k＋1－1【答案】D【解析】因为不等式左边的分母是逐1增加的．111133．(2017年菏泽期中)在用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≥(n≥2)的过程n＋1n＋22n24中，当由n＝k推到n＝k＋1时，不等式左边应()1A．增加了2k＋111B．增加了＋2k＋12k＋2111C．增加了＋，但减少了2k＋12k＋2k＋1D．

3、以上都不对1111【答案】C【解析】当n＝k时，左侧式子为＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，k＋1k＋2k＋32k11111左侧式子为＋＋…＋＋＋，∴当由n＝k推到n＝k＋1时，不等式左边k＋2k＋32k2k＋12k＋2111减少了，增加了＋.故选C．k＋12k＋12k＋21111a4．若不等式＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立，正整数a的最n＋1n＋2n＋33n＋124大值是()A．24B．25C．26D．271112626a【答案】B【解析】取n＝1，＋＋＝，令＞，得a＜26，故答案1＋11＋23·1＋1242424为B．1111275.(2018年柳

4、州期末)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初242n－164始值至少应取n＝.【答案】811－1112n12711【解析】由等比数列前n项和公式得1＋＋＋…＋＝>，∴<，∴n>7.242n－11642n1281－2又n∈N*，∴n＝8.1111116．用数学归纳法证明＋＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则223242n＋122n＋2当n＝k＋1时，应推证的目标是______________________________．1111111【答案】＋＋＋…＋＋>－223242k＋12[k＋1＋1]22k＋1＋

5、27．(2017年浙江节选)已知数列{x}满足x＝1，x＝x＋ln(1＋x)(n∈N*)．证明：当n1nn＋1n＋1n∈N*时，0＜x＜x.n＋1n【证明】当n＝1时，x＝1>0.1假设n＝k时，x>0，k那么n＝k＋1时，若x≤0，则x＝x＋ln(1＋x)≤0，矛盾，故x＞0.k＋1kk＋1k＋1k＋1因此x＞0(n∈N*)．n所以x＝x＋ln(1＋x)＞x，nn＋1n＋1n＋1因此0＜x＜x(n∈N*)．n＋1nB．能力提升8.(2018年贵阳校级月考)设f(n)＝nn＋1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N*.(1)当n＝1,2,3,4时，比较f

6、(n)与g(n)的大小；(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.【解析】(1)f(1)g(3)，f(4)>g(4).(2)猜想：当n≥3，n∈N*时，有nn＋1>(n＋1)n.证明：①当n＝3时，猜想成立.②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时猜想成立，kk＋1即kk＋1>(k＋1)k，>1.(k＋1)k(k＋1)2∵(k＋1)2>k(k＋2)，即>k，k＋2(k＋1)k＋2k＋1(k＋1)2kkk＋1∴＝k·>k·k＝>1.(k＋2)k＋1k＋2k＋2k＋1(k＋1)k∴(

7、k＋1)k＋2>(k＋2)k＋1，即(k＋1)(k＋1)＋1>[(k＋1)＋1]k＋1，∴当n＝k＋1时，猜想也成立.由①②知，对一切n≥3，n∈N*时，nn＋1>(n＋1)n都成立.