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《(江苏专版)2020版高考数学一轮复习讲义： 第六章 数列 6.1 数列的有关概念讲义.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§6.1数列的有关概念命题探究考纲解读五年高考统计考点内容解读要求常考题型预测热度201320142015201620171.数列的概念及1.求通项公式填空题A★☆☆通项公式2.数列性质解答题2.数列的前n项数列前n项和的求法填空题A★★☆和及性质及简单运用解答题分析解读本节知识一般和数列其他内容综合在一起出题,考查数列的综合运用,作为数列的基础知识,需要熟练掌握.五年高考考点一数列的概念及通项公式1.(2015课标Ⅱ,16,5分)设S是数列{a}的前n项和,且a=-1,a=SS,则S=.nn1n+1nn+1n答案-2.(2013安徽理,14,5分)如图,互不相同的点A,A,…,A,…和B,B
2、,…,B,…分别在角O的两条边上,所有AB12n12nnn相互平行,且所有梯形ABBA的面积均相等.设OA=a.若a=1,a=2,则数列{a}的通项公式nnn+1n+1nn12n是.答案a=n3.(2015重庆,22,12分)在数列{a}中,a=3,aa+λa+μ=0(n∈N).n1n+1nn+1+(1)若λ=0,μ=-2,求数列{a}的通项公式;n(2)若λ=(k∈N,k≥2),μ=-1,证明:2+<<2+.0+0解析(1)由λ=0,μ=-2,有aa=2(n∈N).若存在某个n∈N,使得=0,则由上述递推公式易得=0.重n+1n+0+复上述过程可得a=0,与a=3矛盾,所以对任意n∈N,a≠
3、0.11+n从而a=2a(n∈N),即{a}是一个公比q=2的等比数列.n+1n+n故a=aqn-1=3·2n-1.n1(2)证明:若λ=,μ=-1,则数列{a}的递推关系式变为naa+a-=0,变形为a=(n∈N).n+1nn+1n+1+由上式及a=3>0,归纳可得13=a>a>…>a>a>…>0.12nn+1因为a===a-+·,n+1n所以对n=1,2,…,k求和得=a+(a-a)+…+(-)0121=a-k·+·10>2+·=2+.另一方面,由上已证的不等式知a>a>…>>>2,得12=a-k·+·10<2+·=2+.综上,2+<<2+.教师用书专用(4—6)4.(2015四川,16,
4、12分)设数列{a}(n=1,2,3,…)的前n项和S满足S=2a-a,且a,a+1,a成等差数列.nnnn1123(1)求数列{a}的通项公式;n(2)记数列的前n项和为T,求使得
5、T-1
6、<成立的n的最小值.nn解析(1)由已知S=2a-a,nn1有a=S-S=2a-2a(n≥2),nnn-1nn-1即a=2a(n≥2).nn-1从而a=2a,a=2a=4a.21321又因为a,a+1,a成等差数列,即a+a=2(a+1).123132所以a+4a=2(2a+1),解得a=2.1111所以,数列{a}是首项为2,公比为2的等比数列.n故a=2n.n(2)由(1)得=,所以T=++…+==1
7、-.n由
8、T-1
9、<,得<,即2n>1000.n因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10.于是,使
10、T-1
11、<成立的n的最小值为10.n5.(2013广东理,19,14分)设数列{a}的前n项和为S.已知a=1,=a-n2-n-,n∈N*.nn1n+1(1)求a的值;2(2)求数列{a}的通项公式;n(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.解析(1)依题意,得2S=a--1-,又S=a=1,所以a=4.12112(2)当n≥2时,2S=na-n3-n2-n,nn+12S=(n-1)a-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),n-1n两式相减得2a=na-(n-1)a-(3n
12、2-3n+1)-(2n-1)-,nn+1n整理得(n+1)a=na-n(n+1),即-=1,又-=1,nn+1故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,所以a=n2.n(3)证明:当n=1时,=1<;当n=2时,+=1+=<;当n≥3时,=<=-,此时++…+=1++++…+<1++++…+=1++-=-<.综上,对一切正整数n,有++…+<.6.(2013江西理,17,12分)正项数列{a}的前n项和S满足:-(n2+n-1)S-(n2+n)=0.nnn(1)求数列{a}的通项a;nn(2)令b=,数列{b}的前n项和为T.证明:对于任意的n∈N*,都有T<.nn
13、nn解析(1)由-(n2+n-1)S-(n2+n)=0,得n[S-(n2+n)](S+1)=0.nn由于{a}是正项数列,n所以S>0,S=n2+n.nn于是a=S=2,n≥2时,a=S-S=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.11nnn-1综上,数列{a}的通项a=2n.nn(2)证明:由于a=2n,b=,nn则b==-.nT=1-+-+-+…+-+-n=<=.考点二数列的前n项和及性质1
