“PA-kPB”最值探究(胡不归-阿氏圆).docx

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1、“PA+k·PB”型的最值问题---孙洋清【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。【知识储

2、备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线

3、时最小（如图1-1-3），本题得解。图1-1-1图1-1-2图1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子

4、能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。（二）点P在圆上运动“阿氏圆”问题如图所示2-1-1，⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB.连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？BPAOPCOPCOAABB图2-1-1图2-1-2图2-1-3分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图2-1-2）在线段OB上截取OC使OC=k·r,则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（

5、如图2-1-3），本题得解。动态展示：见GIF格式！【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=kPB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；第三步：计算这两条线段长度的比OP=k；OB第四步：在OB上取点C，使得OC=OP；OPOB第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．【模型类比】①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（k=si

6、n∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题②“阿氏圆”构造共边共角型相似AC构造△PAB∽△CAP推出PA2=AB即：半径的平方=原有线段´构造线段【典型例题】1．(胡不归问题)如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点,则AM+1BM的最小值为.2AD分析：如何将1BM转化为其他线段呢？2即本题k值为1，必须转化为某一角的正弦值啊，2M即转化为30°角的正弦值。思考到这里，不难发现，只要作MN垂直于BC，BC则MN=1BM，即AM+1BM最小转化为AM+MN最小，本题得解。22ADM

7、详解：如图，作AN⊥于BC垂足为N,∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°，∴∠DBC=30°，即sin∠DBC=1=MN，2BM∴1BM=MN，2BNC∴AM+1BM=AM+MN，即AM+1BM的最小值为AN.22在RT△ABN中，AN=AB·sin∠ABC=6´∴AM+1BM的最小值为33.23=33.2变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？答案：（1）63（