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时间:2020-08-03
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1、第一章命题逻辑1-1命题及其表示法1.什么是命题命题:能判断真假的陈述句。命题的值叫它的真值。真值:“真”:表示判断正确。记作True,用T表示。“假”:表示判断错误。记作False,用F表示。例1判断下列句子中哪些是命题?(1)2是素数。(2)雪是黑色的。(3)2+3=5(4)明年10月1日是晴天。(5)3能被2整除。(6)这朵花真好看呀!(7)明天下午有会吗?(8)请关上门!(9)X+Y>5(10)地球外的星球上也有人。(11)我正在说谎。2.命题的符号化表示命题的符号化就是用符号表示命题。简单命题(或原子命题):简单陈述句表示的命题。用P,Q,R,…,P
2、i,Qi,Ri,…表示。例P:2是偶数。Q:雪是黑色的。命题常量(或命题常元):简单命题。命题变项(或命题变元):真值可以变化的简单陈述句。不是命题。例:x+y>5命题变项也用P,Q,R,…,Pi,Qi,Ri,…表示。复合命题:由简单命题用联结词联结而成的命题。例2将下列命题符号化。(1)3不是偶数。(2)2是素数和偶数。(3)林芳学过英语或日语。(4)如果角A和角B是对顶角,则角A等于角B。解:(1)设P:3是偶数。ᄀP(ᄀ:表示并非)(2)设P:2是素数;Q:2是偶数。P∧Q(∧:表示和)(3)设P:林芳学过英语;Q:林芳学过日语。P∨Q(∨:表示或)(4
3、)设P:角A和角B是对顶角;Q:角A等于角B。P→Q(→个表示如果……则……)1-2.联结词定义1-2.1设P为任一命题,P的否定是一个新的命题,称为P的否定式,记作ᄀP。ᄀ为否定联结词。PᄀPTFFT例p:3是偶数。ᄀp:3不是偶数。定义1-2.2设P、Q为两命题,复合命题“P并且Q”(或“P和Q”)称为P与Q的合取式,记作P∧Q,∧为合取联结词。∧表示自然语言中的“既……又……”,“不仅……而且……”,“虽然……但是”PQP∧QTTTTFFFTFFFF例3将下列命题符号化。(1)李平既聪明又用功。(2)李平虽然聪明,但不用功。(3)李平不但聪明,而且用功。
4、(3)李平不是不聪明,而是不用功。解:设P:李平聪明;Q:李平用功。(1)P∧Q(2)P∧ᄀQ(3)P∧Q(4)ᄀ(ᄀP)∧ᄀQ注意:不是见到“和”、“与”就用∧。例:“李文和李武是兄弟”,“王芳和陈兰是好朋友”是简单命题。定义1-2.3设P、Q为两命题,复合命题“P或Q”称为P与Q的析取式,记作P∨Q,∨为析取联结词。PQP∨QTTTTFTFTTFFF析取式P∨Q表示的是一种相容性或,即允许P和Q同时为真。例:“王燕学过英语或日语”P∨Q自然语言中的“或”具有二义性,有时表示不相容的或。例:“派小王或小李中的一人去开会”。为排斥性的或。P:派小王去开会;Q:
5、派小李去开会。(P∧ᄀQ)∨(ᄀP∧Q),(P∨Q)∧ᄀ(P∧Q)定义1-2.4设P、Q为两命题,复合命题“如果P,则Q”称作P与Q的蕴涵式,记作P→Q,→为蕴涵联结词。PQP→QTTTTFFFTTFFT在P→Q中,Q是P的必要条件,P是Q的充分条件。表示自然语言“只要P就Q”,“P仅当Q”,“只有Q,才P”注意:1.在自然语言中,“如果P,则Q”中的P与Q往往有某种内在的联系,但在数理逻辑中,P→Q中的P与Q不一定有内在的联系。2.在数学中,“如果P,则Q”表示P为真,Q为真的逻辑关系,但在数理逻辑中,当P为假时P→Q为真。例4将下列命题符号化。(1)只要不
6、下雨,我就骑自行车上班。(2)只有不下雨,我才骑自行车上班。(3)若2+2=4,则太阳从东方升起。(3)若2+2≠4,则太阳从东方升起。(4)若2+2=4,则太阳从西方升起。(5)若2+2≠4,则太阳从西方升起。解:在(1)、(2)中,设P:天下雨;Q:我骑自行车上班。(1)ᄀP→Q(2)Q→ᄀP在(3)-(6)中,设P:2+2=4;Q:太阳从东方升起;R:太阳从西方升起。(1)P→Q,真值为T(2)ᄀP→Q,真值为T(3)P→R,真值为F(4)ᄀP→R真值为T定义1-2.5设P、Q为两命题,复合命题“P当且仅当Q”称作P与Q的等价式,记作P⇄Q,⇄为等价联结
7、词。P⇄Q表示P与Q互为充分必要条件。PQP⇄QTTTTFFFTFFFT例5将下列命题符号化。(1)2+2=4,当且仅当3是奇数。(2)2+2=4,当且仅当3不是奇数。(3)2+2≠4,当且仅当3是奇数。(4)2+2≠4,当且仅当3不是奇数。(5)两圆的面积相等,当且仅当它们的半径相同。(6)两角相等当且仅当它们是对顶角。解:(1)-(4)设P:2+2=4;Q:3是奇数。(1)P⇄Q真命题(2)P⇄ᄀQ假命题(3)ᄀP⇄Q假命题(4)ᄀP⇄ᄀQ真命题(5)设P:两圆的面积相等;Q:两圆的面积相同。P⇄Q真命题(6)设P:两角相等;Q:它们是对顶角。P⇄Q假命题
8、4.5种联结词的优先级顺序:ᄀ,∧,∨
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