传热学课件第四章 导热问题数值解法基础.ppt

《传热学课件第四章 导热问题数值解法基础.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章导热问题数值解法基础第一节建立离散方程的方法第二节稳态导热问题的数值计算第三节非稳态导热问题的数值计算第四章导热问题数值解法基础数值解法为一种近似解法，但其近似精度可人为控制，故又是一种十分精确的解法。数值解法的主要思路和步骤：1.将物体从空间上或时间上划分成若干个网格单元（即离散化），以单元上节点的值替代单元值；2.用各种方法建立起各节点与相邻节点的关系方程式，构成节点方程组；3.解节点方程组，得各节点数值（如：ti,j，传热中多为温度值，此时即认为得温度分布）。第一节建立离散方程的方法如图，i、j分别为沿x、y方向节点的序号，△x、△y为步长，网络线与边界的

2、交点为边界节点。图中每一个节点都代表以它为中心的一个小区域（的温度值等）。节点越多，结果越精确。同样可把时间也分割成许多间隔△，同样△越小，结果越精确。一、区域和时间的离散化空间上，把物体划分为有限数目的网格单元，将原来在空间上连续的物理量，转变为有限个离散的网格单元节点（又称结点）。i△x（i+1）△x（j+1）△yj△y（j-1）△y（i-1）△x第一节建立离散方程的方法二、泰勒级数展开法（有限差分法）对于连续函数t，相邻两节点间关系可用泰勒级数描述。1.一阶导级的向前差分表达式：舍去<1>式△x2后各项，则有：2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2

3、后各项，则有：第一节建立离散方程的方法二、泰勒级数展开法（有限差分法）对于连续函数t，相邻两节点间关系可用泰勒级数描述。3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：4.二阶导级的中心差分表达式：<1>+<2>式且忽略后项，则有：第一节建立离散方程的方法三、热平衡法基于能量守恒定律，对微元体内，认为相邻节点间温度分布呈线性，如图，节点P与周围节点的导热量由傅里叶定律有：若无热源、常物性、稳态：LP+RP+TP+BP=0则有：第二节稳态导热问题的数值计算一、内节点离散（节点）方程的建立以常物性、无热源的二维稳态导热为例，一般为使计算简便，常使△

4、x=△y，于是由式<3>、<4>的有限差分法和热平衡法均可得到各内节点间的关系为：ti+1,j+ti-1,j+ti,j+1+ti,j-1-4ti,j=0或写作：ti,j=（ti+1,j+ti-1,j+ti,j+1+ti,j-1）/4值得注意的是：上节点方程中五个节点均应为内节点，否则，上方程就可能不再适用。对于内节点方程，当导热过程为常物性、无热源或热源均匀分布的稳态导热时可用有限差分法得到，否则，采用有限差分法会产生麻烦，而热平衡法则可克服这些麻烦，这是热平衡法的优点。但此法需对每个节点均作热平衡分析。一般边界节点与内节点间的联系方程多用热平衡法建立。第二节稳态导热

5、问题的数值计算二、边界节点离散方程的建立第一类边界条件直接给出了边界温度值，可直接以数值形式参加到边界节点与相邻内节点的离散方程中，第二、三类边界条件则应视具体情况，建立具体的离散方程。下面以对流边界条件下的拐角节点为例，介绍建立方法。第二节稳态导热问题的数值计算二、边界节点离散方程的建立△y△x令：△x=△y且有：LP+RP+TP+BP=0代入整理得：第二节稳态导热问题的数值计算三、节点离散方程组的求解对n个未知温度的节点，用前述方法即可得到n个方程，将节点温度ti,j按顺序号1、2、…、n编号，且整理后总可得到如下方程组：t1=a11t1+a12t2+……

6、+a1ntn+c1t2=a21t1+a22t2+……+a2ntn+c2………………tn=an1t1+an2t2+……+anntn+cn采用计算机求解上述方程组时，常用迭代法和高斯消元法，这里仅介绍经常使用的迭代法。第二节稳态导热问题的数值计算三、节点离散方程组的求解1.简单迭代法A.先任设一组节点温度的初始值：t10t20…tn0；B.将t10t20…tn0代入方程组右侧，得一组新值：t11t21…tn1；C.将各项分别与各项相比较，看其中Max

7、ti1-ti0

8、是否小于规定的精度值，若小于时则退出循环，打印结果，否则继续迭代；D.将t11t21…tn1代入，得t

9、12t22…tn2，比较Max

10、ti2-ti1

11、是否小于规定的精度值，若小于时则退出循环，打印结果，否则继续迭代；E.将t1kt2k…tnk代入方程组，得t1k+1t2k+1…tnk+1，直至Max

12、tik+1-tik

13、<，或Max

14、（tik+1-tik）/tik

15、<（此时为相对误差），退出循环，打印结果，t1k+1t2k+1…tnk+1这组值即为方程组的解。第二节稳态导热问题的数值计算三、节点离散方程组的求解2.高斯-赛德尔迭代法在简单迭代法基础上作改进，每次迭代时，总是使用节点温度的最新值，例如第k次迭代后的值代入t1的表达式后得t1第