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1、1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度=（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为晶胞内包含1个原子，所以=（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为晶胞内包含2个原子，所以
2、=（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为，1个晶胞内包含4个原子，所以=.（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，晶胞内的原子O与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高h=晶胞体积V=,一个晶胞内包含两个原子，所以ρ=.（5）对金刚石结构，任一个原
3、子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为晶胞体积一个晶胞内包含8个原子，所以ρ=.5．证明在立方晶体中，晶列[]与晶面（）正交，并求晶面()与晶面()的夹角。[解答]设d是为晶面族（）的面间距，n为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（）将a,b,c分别截为等份，即a•n=acos(a,n)=hd,b•n=bcos(b,n)=kd,c•n=ccos(c,n)=ld于是有n=i+j+k=(hi+kj+lk)其中,i,j,k分别为平行于a,b,c三个坐标轴的单位矢
4、量，而晶列[]的方向矢量为R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk)由（1），（2）两式得n=R即n与R平行，因此晶列[]与晶面（）正交。对于立方晶系，晶面()与晶面()的夹角，就是晶列R=a+b+c与晶列R=a+b+c的夹角，设晶面()与晶面()的夹角为由R∙R==得7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取为由,可得其倒格矢为设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为i,j,k,体心立方正格子的原胞基矢可取为以上三式与面心立方的倒格基矢相比较
5、，两者只相差一常数公因子，这说明面心立方的倒格子是体心立方。将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式则得其倒格子基矢为可见体心立方的倒格子是面心立方。11.试求质量为，原子间距为，力常数交错为，的一维原子链振动的色散关系。当时，求在和处的，并粗略画出色散关系。解：下图3.3给出了该一维原子链的示意图a2mâ2â2β1β1â2x2n-2x2n+1x2nx2n+1x2n+2x2n+3图3.3在最近邻近似和简谐近似下，第2n和第（2n+1）个原子的运动方程为……………（1）当时，上述方程组（1）可变为……………（2）为求格波解，令……………（3）将（3）
6、式代入（2）式，可导出线性方程组为……………（4）令，从，有非零解的系数行列式等于零的条件可得……（5）由（5）式可解出当时，，，当时，，，其色散关系曲线如下图3.4所示：12.如有一维布喇菲格子，第个原子与第个原子之间的力常数为；而第个原子与第个原子的力常数为。（1）写出这个格子振动的动力学方程；（2）说明这种情况也有声学波和光学波；（3）求时，声学波和光学波的频率；（4）求（为晶格常数）时，声学波和光学波的频率。解：（1）此题与（11）题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第和第个原子的动力学方程为……………（1）（2）为求出方程
7、组（1）的格波解，可令……………（2）于是将（2）式代入（1）式，可导出线性方程组为……………（3）令，，从、有非零解的系数行列式等于零的条件可得……………（4）由（4）式可解出……………（5）由此可知，的取值也有和之分，即存在声学波和光学波（3）由（5）式可知当时，，有声学波频率，光学波频率（4）同样由（5）式可知当时，，有声学波频率，光学波频率13.在一维双原子链中，如，（1）求证：；。（2）画出与的关系图（设）。解：（1）在一维双原子链中，其第个原子与第个原子的运动方程为为解方程组（1）可令将（2）式代入（1）式可得出从、有非零解，方程组（
8、3）的系数行列式等于零的条件出发，可得可解出得……………（4）当（4）式中取“－”号时，有……………（5）∵，∴（5）式中有，那么（5）
