资源描述：
《2019年高考数学（文）二轮复习对点练：专题四 数列 专题对点练14 Word版含答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题对点练14 数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题1.已知等比数列{an},a1=,公比q=.(1)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.2.已知数列{an}满足a1=3,an+1=.(1)证明:数列是等差数列,并求{an}的通项公式;(2)令bn=a1a2…an,求数列的前n项和Sn.3.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ的值.4.在数列{an}中,设f(n)=an,且f(n)满
2、足f(n+1)-2f(n)=2n(n∈N*),且a1=1.(1)设bn=,证明数列{bn}为等差数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.5.设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*),其中m为常数,且m≠-3.(1)求证:{an}是等比数列;(2)若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求证:为等差数列,并求bn.6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-2,且满足Sn=an+1+n+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log3(-
3、an+1),求数列的前n项和Tn,并求证Tn<.7.(2018天津模拟)已知正项数列{an},a1=1,a2=2,前n项和为Sn,且满足-2(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)记cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:≤Tn<.8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,2Sn=(n+1)2an-n2an+1,数列{bn}满足b1=1,bnbn+1=λ·.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在正实数λ,使得{bn}为等比数列?并说明理由.专题对点练14答案1.(1)证明因为an=,Sn=,所以Sn=.(2)解bn=log3
4、a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.所以{bn}的通项公式为bn=-.2.解(1)∵an+1=,∴an+1-1=-1=,∴,∴.∵a1=3,∴,∴数列是以为首项,为公差的等差数列,∴(n-1)=n,∴an=.(2)∵bn=a1a2…an,∴bn=×…×,∴=2,∴Sn=2+…+=2.3.解(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以.因此{an}是首项为,公比为的等比数列,于
5、是an=.(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-,即.解得λ=-1.4.(1)证明由已知得an+1=2an+2n,∴bn+1=+1=bn+1,∴bn+1-bn=1.又a1=1,∴b1=1,∴{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解由(1)知,bn==n,∴an=n·2n-1.∴Sn=1+2×21+3×22+…+n·2n-1,2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,两式相减得-Sn=1+21+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)2n-1,∴Sn=(n-1)·2n+1.5.证明(1)由(3-m)Sn+2ma
6、n=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减,得(3+m)an+1=2man.∵m≠-3,∴,∴{an}是等比数列.(2)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)S1+2ma1=m+3,即a1=1,∴b1=1.∵数列{an}的公比q=f(m)=,∴当n≥2时,bn=f(bn-1)=,∴bnbn-1+3bn=3bn-1,∴.∴是以1为首项,为公差的等差数列,∴=1+.又=1也符合,∴bn=.6.(1)解∵Sn=an+1+n+1(n∈N*),∴当n=1时,-2=a2+2,解得a2=-8.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+1+n+1-
7、,即an+1=3an-2,可得an+1-1=3(an-1).当n=1时,a2-1=3(a1-1)=-9,∴数列{an-1}是等比数列,首项为-3,公比为3.∴an-1=-3n,即an=1-3n.(2)证明bn=log3(-an+1)=n,∴.∴Tn=+…+.∴Tn<.7.(1)解由-2(n≥2,n∈N*),得+2Sn+1Sn-1+=4,即(Sn+1+Sn-1)2=(2Sn)2.由数列{an}的各项均为正数,得Sn+1+Sn-1=2Sn,所以数列{Sn}为等差数列.由a1=1,a2=2,得S1=a1=1,S2=a1+a2=3,则数列{Sn}的公差为d=S2-S1=
8、2,所以Sn=1+(n-
