高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数课堂探究学案 新人教A版必修.doc

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1、2.3幂函数课堂探究探究一幂函数的概念形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1；(2)指数为常数；(3)后面不加任何项．例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1等均不是幂函数，另外还要注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．【典型例题1】函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．思路分析：由已知f(x)＝(m2－m－5)·xm－1是幂函数，且当x>0时是增函数，可先利用幂函数的定义求m的值，再利用单调性

2、确定m的值．解：根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2，当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.探究二幂函数性质的应用比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象来比较．【典型例题2】比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；　　

3、(2)与；(3)与.思路分析：(1)利用的单调性比较大小；(2)利用y＝x－1的单调性比较大小；(3)利用中间量比较大小．解：(1)∵幂函数在[0，＋∞)上是增函数，又>，∴>.(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－<－，∴>.(3)∵函数为减函数，且>，∴>.又∵函数在[0，＋∞)上是增函数，且>，∴>.∴>.探究三根据幂函数的性质求解析式【典型例题3】已知幂函数f(x)＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求f(x)．思路分析：由f(

4、x)在(0，＋∞)上单调递减求出m的范围，再根据m∈N*且图象关于y轴对称，确定m的值，进而写出f(x)．解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9<0，解得m<3.又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1，∴f(x)＝x3×1－9＝x－6.探究四易错辨析易错点　因对幂函数的单调性理解不全面而造成错解【典型例题4】若(a＋1)－1<(3－2a)－1，求实数a的取值范围．错解：考察幂函数f(x)＝x－1.因为该函数为减函数，所以由(a＋1)－1<(3－2a)－1，

5、得a＋1>3－2a，解得a>.故实数a的取值范围是.正解：考察幂函数f(x)＝x－1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，且在(－∞，0)上有f(x)<0；在(0，＋∞)上有f(x)>0，所以由(a＋1)－1<(3－2a)－1，得或a＋1>3－2a>0，或3－2a

6、此类问题的求解必须在各单调区间内分别进行，也可以结合函数的图象来考虑．