高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、2．2.2　双曲线的简单几何性质[提出问题]已知双曲线C1的方程：－＝1.问题1：双曲线C1中的三个参数a，b，c的值分别为多少？提示：3,4,5.问题2：试画出双曲线C1的草图？提示：如图所示：问题3：观察双曲线C1的图象，曲线与x轴、y轴哪一条轴有交点？有无对称性？提示：与x轴有交点，有对称性．[导入新知]1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

2、F1F2

3、＝2c范围x≤－a或x≥a，

4、y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±x2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝.[化解疑难]对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程－＝1(

5、a＞0，b＞0)，得＝1＋≥1，∴x2≥a2，∴

6、x

7、≥a，即x≤－a或x≥a.(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．(4)对称性：由双曲线的方程－＝1(a＞0，b＞0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)均在双曲线上，因P与P1，P2分别关于y轴、x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．双曲线的几何性质[例1]　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴

8、长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[解]　双曲线的方程化为标准形式是－＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.[类题通法]已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．[活学活用]求双曲线9x2－16y2＋144＝

9、0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．解：把方程9x2－16y2＋144＝0化为标准方程为－＝1.由此可知，实半轴长a＝3；虚半轴长b＝4；c＝＝＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±x.双曲线的草图如图．利用双曲线的几何性质求其标准方程[例2]　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.[解]　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．

10、由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝.当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.[类题通法](1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组

11、)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．[活学活用]分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝.(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故双曲线C的标准方程为－y2＝1.(2)由e2＝，得＝，

12、设a2＝9k(k＞0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.于是，设所求双曲线方程为－＝1，①或－＝1，②把(3,9)代入①，得k＝－161与k＞0矛盾；把(3,9)代入②，得k＝9，故所求双曲线的标准方程为－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入，得k＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.双曲线的离心率[例3]　已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，求此双曲线的离心率