高中数学 第二章 参数方程 2.4 一些常见曲线的参数方程学案 新人教B版选修.doc

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1、2.4一些常见曲线的参数方程[读教材·填要点]1．摆线的概念一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线．2．渐开线的概念把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)摆线的参数方程：.(2)圆的渐开线方程：.[小问题·大思维]1．摆线的参数方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？提示：字母a是指定圆的半径，参数t是指圆滚动时转

2、过的角度．2．渐开线方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？提示：字母a是指基圆的半径，参数t是指OA―→和x轴正向所成的角(A是绳拉直时和圆的切点)．求圆的摆线的参数方程[例1]　已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．[思路点拨]　本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．[精解详析]　令y＝0，可得a(1－cost)＝0，由于a>0，即得cost＝1，所以t＝2kπ(k∈Z)．代入x＝a(t－sint)，得x＝a(2kπ－

3、sin2kπ)．又因为x＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2，即得a＝(k∈Z)．又a>0，所以a＝(k∈N＋)．易知，当k＝1时，a取最大值为.代入即可得圆的摆线的参数方程为(t为参数)．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．1．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．解

4、：xM＝r·θ－r·cos(φ＋θ)－＝r[θ－sin(φ＋θ)]，yM＝r＋r·sin＝r[1－cos(φ＋θ)]．∴点M的参数方程为(θ为参数).求圆的渐开线的参数方程[例2]　求半径为4的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨]　本题考查圆的渐开线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．[精解详析]　以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM.按渐开线定义，的长和线段A

5、M的长相等．记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则

6、AM

7、＝＝4θ.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线．由三角和向量知识，得＝(4cosθ，4sinθ)．由几何知识知∠MAB＝θ，＝(4θsinθ，－4θcosθ)，得＝＋＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sinθ－θcosθ))．又＝(x，y)，所以有这就是所求圆的渐开线的参数方程．解本题，关键是根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识，建立等式关系．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步

8、骤：(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．(2)取定运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到OM―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．2．渐开线(0≤t≤2π)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________________．解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径a＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝

9、1.这是一个焦点在x轴上的椭圆，其中c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．答案：(6，0)，(－6，0)渐开线与摆线的参数方程的应用[例3]　设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置．写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．[思路点拨]　本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．[精解详析]　轨迹曲线的参数方程为　　0≤t≤2π.当t＝π

10、时，即x＝8π时，y有最大值16.曲线的对称轴为x＝8π.摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．3．已知圆C的参数方程是和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程．(