高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案(含解析)新人教A版选修.doc

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1、3.2.2　复数代数形式的乘除运算[学习目标]1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．理解共轭复数的概念．[知识链接]　写出下列各小题的计算结果：(1)(a±b)2＝________；(2)(3a＋2b)(3a－2b)________；(3)(3a＋2b)(－a－3b)________．(4)(x－y)÷(＋)________．答案　(1)a2±2ab＋b2　(2)9a2－4b2　(3)－3a2－11ab－6b2　(4)－[预习导引]1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2

2、＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z33.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.4．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＝＋i.要点一　复数乘除法的运算例1

3、　计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.解　(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.规律方法　(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．(2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为a＋bi和a－bi，其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.跟踪演练1　计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i

4、)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解　(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.例2　计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；(2)6＋.解　(1)(1＋2i)÷(3－4i)＝＝＝＝－＋i；(2)原式＝6＋＝i6＋＝－1＋i.规律方法　复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．跟踪演练2　计算

5、：(1)；(2).解　(1)＝＝＝1－i；(2)＝＝＝－1－3i.要点二　共轭复数及其应用例3　已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2，∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴，解得，∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.规律方法　本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．跟踪演练3　已知复数z满足

6、z

7、＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解　设z＝a＋bi(a，b∈R

8、)，则＝a－bi且

9、z

10、＝＝1，即a2＋b2＝1.①因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②由①②联立，解得或所以＝－i，或＝－＋i.1．复数－i＋等于(　　)A．－2iB．iC．0D．2i答案　A解析　－i＋＝－i－＝－2i，选A.2．(2013·江西)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　)A．－2iB．2iC．－4iD．4i答案　C解析　本题考查复数的四则运算以及集

11、合的基本运算．因为M∩N＝{4}，所以zi＝4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，zi＝－b＋ai，由zi＝4，利用复数相等，得a＝0，b＝－4.故选C.3．若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)z等于(　　)A．1＋3iB．3＋3iC．3－iD．3答案　A解析　(1＋z)·z＝(2＋i)·(1＋i)＝(2×1－1)＋(2＋1)i＝1＋3i.4．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于(　　)A.B．C．－D．－答案　A解析　∵z2＝t＋i，∴2＝t－i.z1·2＝(3＋4i)(

12、t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，又∵z1·2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.5．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　D解析　因为z＝＝＝，故复数z对应的点在第四象限，选D.1．复数代