2012年高考数学《直线和圆》专题 曲线与方程学案.doc

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1、典型例题基础过关第4课时曲线与方程、1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．例1.如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标为（x,y）,∵M是线段AB的中点，∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.∴线段AB中

2、点M的轨迹方程为x+2y-5=0.变式训练1：已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足

3、

4、

5、

6、+·=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.解由题意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,∵

7、

8、

9、

10、+·=0，∴·+（x-2）·4+y·0=0，两边平方，化简得y2=-8x.例2.在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B,C且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是（）A.=1(y≠0)B.=1(x≠0)C.=1（y≠0）的左支D.=1（y≠0)的右支-3-答案D变式训练2：已知圆C1：

11、(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得

12、MC1

13、-

14、AC1

15、=

16、MA

17、，

18、MC2

19、-

20、BC2

21、=

22、MB

23、.因为

24、MA

25、=

26、MB

27、，所以

28、MC2

29、-

30、MC1

31、=

32、BC2

33、-

34、AC1

35、=3-1=2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为

36、x2-=1(x≤-1).例3.如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），则在Rt△ABP中，

37、AR

38、=

39、PR

40、，又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有Rt△OAR中，

41、AR

42、2=

43、AO

44、2-

45、OR

46、2=36-（）.又

47、AR

48、=

49、PR

50、=，所以有（x1-4）2+=36-（）.即-4x1-10=0.因为R为PQ的中点，所以x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得·-10=0.整理得x2+

51、y2=56.这就是Q点的轨迹方程.变式训练3：设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，⊥，当点P-3-在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.解设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），∴即∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+=0.小结归纳∴-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．2．回归定义是

52、解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．-3-