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1、课题学习:猜想、证明与拓广问题1、（1）任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,若面积变为2a2,则其边长应为此时周长应为它不是已知给定的正方形的周长的2倍.所以无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.(2)任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?矩形的形状太多了,我们可以先研究一个具体的矩形.合作交流，解读探究做一做如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会
2、怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.总结如下:有三种思路可以选择:(1)先固定所求矩形的周长,将问题化为方程x(6-x)=4是否有解的问题.(2)先固定所求矩形的面积,将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题.(3)也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程组然后讨论它的解是否符合题意.议一议:当已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……n和1呢？更一般地，当已知矩
3、形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？解:(1)当已知矩形的长和宽分别为3和1,那么其周长和面积分别为8和3,所求矩形的周长为16,面积为6,设所求矩形的长为x,则宽为8-x,则有x(8-x)=6,即x2-8x+6=0.解得:经检验符合题意,所以存在一个矩形,长为宽为解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽为2(m+n)-x,根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn.整理得,x2-2(m+n
4、)x+2mn=0解得:结论:任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.经检验x1,x2符合题意,所以存在一个矩形,它的长为宽为练一练:当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？挑战自我观察下列各式:你能得到怎样的结论?并证明你的结论.解题思路:通过类比引伸推广,归纳出一般结论,解题关键是探索归纳,猜想.超越自我:已知等边ΔABC和点P,设点P到ΔABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3.ΔABC的高为h.若点P在一边BC上如图(1),此时h3=
5、0,可得结论:“h1+h2+h3=h”，请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在ΔABC内,如图(2),点P在ΔABC外,如图(3),这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,h1,h2,h3与h又有怎样的关系,请写出你的猜想,并证明你的猜想.NQ证明:过P作NQ//BC交AB、AC、AM分别为N、Q、K.由题意得:h1+h2=AKK∵NQ//BC,PF⊥BC,AM⊥BC,∴∠KPF=∠MFP=∠KMF=900∴四边形KMFP是矩形∴KM=PF=h3∵AK=AM-KM∴h1+h2=h-h3即
6、h1+h2+h3=h图3又有怎样的关系呢?解:如图2,当点P在ΔABC内部时,结论:“h1+h2+h3=h”仍然成立.证明:设等边ΔABC的边长为a.连结PA、PB、PC，∵SΔPAB+SΔPAC+SΔPBC=SΔABC对于图3,又有怎样的关系?又如何证明?总结反思，拓展升华思考：对于图1，为什么会成立？对于图2呢？对于图2,证明如下:通过本节课的学习,你有哪些收获?1.本节课的数学知识是综合所学知识,体会知识之间的内在联系.2.本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证
7、明的必要性.祝同学们学习进步!再见
