高中数学《平行线等分线段定理》文字素材2 新人教A版选修4-1.doc

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1、平行线等分线段定理一、知识点1.掌握平行线等分线段定理及其推论.2.会利用等分点作平行线，转化成与比例相关的问题.二、例题分析第一阶梯[例1]已知：在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F.求证：BF=CF.提示：（1）由已知条件可得几个中点？有几条平行线？（2）平行线等分线段定理及推论是如何叙述的？（3）此题有几种方法证明？请比较一下其方法之间的联系？参考答案：证明：在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC.∴E是AB的中点.（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）.又∵EF∥AC，交BC于F.∴F是BC的中点，

2、即BF=FC.说明：-6-用心爱心专心（1）在三角形中，给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，可得出平行线与另一边的交点即是中点.（2）此题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但麻烦.[例2]求证在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC.求证：ED=EC.提示：（1）对一个命题进行证明，首先要分清什么？再根据题意如何？（2）在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作什么样的辅助线即可得到另一腰的中点.（3）请总结一下利用平行线等分线段定理及推论时所必备的

3、条件和所得的结论分别是什么？参考答案：证明：过E点作EF∥BC交DC于F.∵在梯形ABCD中，AD∥BC.∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点.∴F是DC的中点（经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰）.∵∠ADC=90°∴∠DFE=90°∴EF⊥DC于F又F是DC中点∴EF是DC的垂直平分线∴ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）.说明：（1）命题证明要正确的理解题意，按题意画出图形.再根据图形，写出已知和求证.（2）此题作EF与DC垂直，证EF∥BC也可以.-6-用心爱心专心第二阶梯[例1]在□ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和

4、DE分别交AC于P、Q两点.求证：AP=PQ=QC.提示：（1）图形中可以得到几条平行线？与结论有关的平行线分别在哪几个三角形中？被平行线所截线段的位置有何特殊关系？（2）利用平行线和中点，可以得到三角形哪条边的中点？（3）平行四边形在此题中的作用是什么？如果把平行四边形改成梯形，结论成立吗？若改成其它的特殊四边形呢？参考答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点.∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形定平行四边形）∴在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.∴P是AQ的中点∴AP=PQ.在△CPB中，E是BC的中点

5、，EQ∥BP.∴Q是CP的中点.∴CQ=PQ.∴AP=PQ=QC.说明：（1）此题两次利用了E、F是中点的条件.（2）在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.[例2]已知：△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证：AF=BF.提示：（1）E点是DC边的中点吗？图形中E是什么点？直观上，你觉得图形-6-用心爱心专心完善吗？（2）如何添加辅助线，使EF与某三角形的一边平行且E是其中一边的中点？（3）在三角形中，一般的有角平分线的条件，就可以构选什么图形？参考答案：证明：延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的平分线，AE

6、⊥CE于E∴在△AEC与△MEC中∴△AEC≌△MEC∴AE=EM∴E是AM的中点，又在△ABM中FE∥BF.∴点F是AB边的中点∴AF=BF.说明：（1）一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉上图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善此题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△AEC又不好用.所以延长AE与BC相交就势在必行了.（2）在三角形中，若有角平分线可构造全等三角形，有一边上的中点，过这点可作平行线.（3）△AEC与△MEC只能证全等后才能得到AE=EM，在此没有定理可用.第三阶梯[例1]已知：如图以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边

7、作□ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF=BF.提示：-6-用心爱心专心（1）梯形的上下两底具有什么性质？平行四边形的对角线有什么性质？（2）如何添加辅助线，再结合条件平行四边形，得到某条线段的中点呢（3）此题有几种构造三角形中点的方法？构造梯形可以吗？请试一试.参考答案：证明：连结AE交DC于O∵四边形ACED是平行四边形∴O是AE的中点（平行四边形对角线互相平分）.∵梯形ABCD∴DC∥AB在△EAB中，OF∥AB又O是AE的中点.∴F是EB的中点∴EF=BF.说明：（1）证题时，当一个条件有几个结论时要选择与其有关联的结论.（2）此题可延长EC，在