求特征值的幂与反幂法.ppt

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1、第3章矩阵的特征值与特征向量的计算3.1幂法和反幂法特征向量与特征值相关概念复习定义:若数与非零向量x满足Axx，则称是方阵A的特征值，x是A的特征向量.特征向量的非零k倍，仍为特征向量。即,AxxA(kx)(kx)。方阵k次幂的特征向量：若AxxAkxkx.3.1.1幂法幂法是求模最大的特征值及其特征向量的算法.1.幂法的迭代过程A是n阶方阵，其n个特征值按模从大到小排序为

2、1

3、

4、2

5、

6、3

7、…

8、n

9、.(3.1)条件:方阵A有n个无关的特征向量x1,x2,…,xn.它们满足

10、Axkkxk,k1,2,…,n.任意取定非零向量u0,从它出发，做下面的迭代ukAuk-1,k1,2,…,(3.2)上过程产生一个向量序列{uk},由此,可找到计算1和其对应的特征向量cx1的方法。2.迭代向量的表达式:迭代产生的uk被A与u0唯一确定ukAuk-1A2uk-2…Aku0,因此,式(3.2)中的方法是使用ukAku0,故称其为幂法.3.迭代产生的uk是A的近似特征向量理由：特征向量x1,x2,…,xn线性无关，故u0可被它们表出，设uk1ka1x1.(Ax1=1x1)因为,

11、故当k充分大时，由于,uk(1ka1x1),及x1是特征向量,故x1的常数倍uk也是特征向量.即，uk近似地是对应1的特征向量.4.迭代(3.3)产生的问题观察uk的表达式可知当

12、1

13、>1(或小于1)时,uk的模会过大(或过小).这将造成计算机出现上溢(或下溢).5.改进方法:单位化处理在实际计算时，每做一步,都先对向量uk进行“单位化”处理。迭代格式改为具体的迭代过程如下:一般情况下，若有，则用uk表达式,可有我们得到迭代公式:当k充分大时，yk可作为特征向量当1>0时,当1<0时,结论：不论何时,yk

14、都以特征向量x1的非零倍数作为极限值!当k充分大时，yk可作为对应1的特征向量。求特征向量的算法求特征向量的算法6.特征值1的求法方法1,在(3.4)中使用2-范数,令可把参数a1消掉，因为知算法1任取非零向量u0,当

15、k-k-1

16、/k时，迭代结束，以当前的k作为1的近似值,以yk-1作为属于1的特征向量.方法2在(3.4)中使用∞-范数，令其中，1是第r个分量,对应uk-1的第r个分量是模最大分量！由于算法2当

17、k-k-1

18、/k时，迭代结束，以当前的k作为1的近似值，以yk-1

19、作为属于1的特征向量。任取非零向量,求无穷大范数单位化Bate等式的解释式(3.9)中的k的表达式解释：令当k足够大时，yk中的模最大分量的位置r保持定值，原因是yk趋向于一个定向量：例1求下矩阵的最大特征值及所属特征向量.误差为0.0001解用幂法公式(3.9)计算.结果如下表所求近似解为精确解为kukTykTk01.0000.0000.0001.0000.0000.0016.000-21.00-12.000.285-1.00-0.5716.0210.286-16.714-20.5710.500-0.812-

20、1.0016.71436.75-32.062-47.250.1429-0.678-1.0047.2543.000-24.964-44.5710.0673-0.56-1.0044.57151.125-23.733-45.0860.025-0.526-1.0045.08660.4664-22.944-44.9820.010-0.510-1.0044.98270.1832-22.687-45.0030.004-0.504-1.0045.00380.074-22.573-44.9990.0016-0.501-1.0044.9

21、9990.0294-22.529-45.000145.0001表3-1例1的计算结果.3.1.2反幂法A是可逆的n阶方阵，其n个特征值按模从大到小排序为

22、1

23、

24、2

25、

26、3

27、…

28、n

29、.假设A有n个无关的特征向量x1,x2,…,xn.它们满足Axkkxk,k1,2,…,n.目标：计算A的按模最小的特征值n及其对应的特征向量.反幂法原理知,1/n是矩阵A-1的按模最大的特征值,xn是A-1的属于1/n的特征向量.对A-1使用幂法公式(3.7)或(3.9),求得1/n及其特征向量,进而得到n

30、.反幂算法任取非零向量u0,每迭代一次,要解一次方程组Auk=yk-1.当k足够大时,n≈1/k,用yk-1作为属于n的特征向量。使用公式(3.7)，所得反幂法迭代公式如下,带原点平移的反幂法求矩阵A的某个特征值.原理:若是矩阵A的特征值，则p是矩阵ApI的特征值，其中I是单位矩阵；反之，若p是矩阵ApI的特征值，则