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1、CATIA曲线曲面造型的几何理论基础主要参考资料：1，最经典CATIA曲线曲面设计基本理论作者：复旦托业CAD培训中心2，3D计算机图形学（原书第三版）作者：（英）AlanWatt包宏译3，第十一讲：非均匀有理B样条曲线和曲面CAD/CAM技术基础作者：来自百度文库Bezier贝塞尔曲线曲面B-SplineB-样条曲线曲面NURBS非均匀有理B-样条曲线曲面RationalB-Spline有理B-样条曲线曲面曲面造型的理论发展历程Catia曲线曲面造型的几何理论基础Catia曲线曲面造型的几何理论基础NURBS－非均
2、匀有理B样条（Non-UniformRationalB-Spline）这种方法的提出是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法相统一的又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。NURBS方法主要有以下四个特点：1，NURBS不仅可以表示自由曲线曲面,它还可以精确地表示圆锥曲线和规则曲线,所以NURBS为计算机辅助几何设计(CAGD)提供了统一的数学描述方法;2，NURBS具有影响曲线、曲面形状的权因子,故可以设计相当复杂的曲线曲面形状。若运用恰当,将更便于设计者实现自己的设计意图;3，NURBS方法是非有理B样条方
3、法在四维空间的直接推广,多数非有理B样条曲线曲面的性质及其相应的计算方法可直接推广到NURBS曲线曲面;4，计算稳定且快速。由于NURBS方法的这些突出优点,国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准,将NURBS方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法,从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。NURBS－非均匀有理B样条（Non-UniformRationalB-Spline)一条NURBS曲线用一个带比重控制点和曲线的次序以及一个节点矢量的集合定义。
4、非均匀（Non-Uniform）：指NURBS基函数的节点沿参数轴不等距分布，即节距不均匀,而且允许重节点的存在。有理（Rational）：采用分式表示，增加了权因子，是有理的，其分子分母分别是参数多项式和多项式函数。每个控制点都带有一个数字(权因子)，除了少数的特例以外，权值大多是正数。当一条曲线所有的控制点有相同的权值时(通常是1)，称为“非有理”(Non-Rational)曲线，否则称为“有理”(Rational)曲线。Bezier方法及B-样条方法都是非有理的。NURBS的“R”代表有理，意味着一条NURBS
5、曲线有可能是有理的。在实际情况中，大部分的NURBS曲线是非有理的,但有些NURBS曲线永远是有理的，圆和椭圆是最明显的例子。B样条(B-Spline):由多段参数化表示的曲线组成。NURBS的基函数与B-Spline的基函数一样。*NURBS曲线曲面是非有理B-样条曲线曲面和有理/非有理Bezier曲线曲面的推广。Catia曲线曲面造型的几何理论基础曲线、曲面的显式、隐式、参数表示曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。显式:形如z=f(x,y)的表达式。对于一个平面曲线,显式表示一般形式是:y=f(x)。在此方程中
6、,一个x值与一个y值对应,所以显式方程不能表示封闭或多值曲线,例如,不能用显式方程表示一个整圆。隐式:形如f(x,y,z)=0的表达式。如一个平面曲线方程,表示成f(x,y)=0的隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数f(x,y)是否大于、小于或等于零,也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。参数表示:形如x=f(t),y=f(t),z=f(t)的表达式,其中t为参数。即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。如平面曲线上任一点P可表示为:P(t)=[x(t),y(t)];空间曲线上任一三维点P可表示为:
7、P(t)=[x(t),y(t),z(t)];如图:Catia曲线曲面造型的几何理论基础最简单的参数曲线是直线段,端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为:P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1]；圆在计算机图形学中应用十分广泛,其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为:其参数形式可表示为:参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点,计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。其优势主要表现在:(1)可以满足几何不变性的要求,坐标变换后仍保持几何形状不变(2)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲
8、线的显式表示为:只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为:有8个系数可用来控制此曲线的形状。(3)对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换,必须对其每个型值点进行几何变换,不能对其方程变换(因不满足几何变换不变性);而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。Catia曲线曲面造型的几何理论基础(4)便于处理斜率为无穷大
