2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第5讲 椭圆学案.doc

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1、第5讲　椭圆板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　椭圆的概念　在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a}，

9、F1F2

10、＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若ab>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，

11、OP

12、有最小值b，P点在短轴端点

13、处；当x＝±a时，

14、OP

15、有最大值a，P点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为.(5)椭圆离心率e＝.[考点自测]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　)(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2

16、c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)(5)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√2．[2017·浙江高考]椭圆＋＝1的离心率是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　∵椭圆方程为＋＝1，∴a＝3，c＝＝＝.∴e＝＝.故选B.3．[2018·广东模拟]已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)A．2B．3C．4D．9答案　B解析　由4＝(m>0)⇒m＝3，故选B.4．[课本改编]已知中心在原点

17、的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　D解析　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.答案　解析　椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝1，依题意知＝2，解得m＝.6．[2018·上海联考]若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.答案　4或8解析　①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)

18、＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.板块二　典例探究·考向突破考向　椭圆的定义及标准方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1　(1)[2018·杭州模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　A解析　由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A.(2)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是

19、F1P的中点，

20、OM

21、＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．答案　4解析　连接PF2，则OM为△PF1F2的中位线，

22、OM

23、＝3，∴

24、PF2

25、＝6.∴

26、PF1

27、＝2a－

28、PF2

29、＝10－6＝4.触类旁通(1)在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数2a>

30、F1F2

31、这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．(2)待定系数法求椭圆方程，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>

32、0，A≠B)．【变式训练1】　(1)[2018·厦门模拟]已知椭圆＋y2＝1，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点．则

33、PF1

34、·

35、PF2

36、的最大值为(　　)A．6B．4C．2D．8答案　B解析　设

37、PF1

38、＝m，

39、PF2

40、＝n，则m＋n＝2a＝4，

41、PF1

42、·

43、PF2

44、＝mn≤2＝4(当且仅当m＝n＝2时，等号成立)．故选B.(2)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是________．答案　＋＝1解析　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．由题意知解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为＋＝1.(