2019版高考数学一轮复习 不等式选讲 第2讲 不等式的证明学案.doc

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1、第2讲　不等式的证明板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．考点2　综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫由因导果法．考点3　分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考

2、和证明方法．考点4　反证法证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．考点5　放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．考点6　柯西不等式1．二维形式的柯西不等式定理1　若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac

3、＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式定理2　设α，β是两个向量，则

4、α·β

5、≤

6、α

7、·

8、β

9、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，假设为“a，b，c全不为0”．(　　)(2)若>1，则x＋2y>x－y.(　　)(3)

10、a＋b

11、＋

12、a－b

13、≥

14、2a

15、.(　　)(4)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　　)答案　

16、(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．[2018·温州模拟]若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)A.b2C.>D．a

17、c

18、>b

19、c

20、答案　C解析　应用排除法．取a＝1，b＝－1，排除A；取a＝0，b＝－1，排除B；取c＝0，排除D.显然>0，对不等式a>b的两边同时乘以，立得>成立．故选C.3．[课本改编]不等式：①x2＋3>3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是(　　)A．①③B．②③C．①②③D．①②答案　D解析　由①得x2＋3－3x＝2＋>0，

21、所以x2＋3>3x；对于②，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab<0时，＋－2＝<0，即＋<2.故选D.4．[2018·南通模拟]若

22、a－c

23、<

24、b

25、，则下列不等式中正确的是(　　)A．ac－bC．

26、a

27、>

28、b

29、－

30、c

31、D．

32、a

33、<

34、b

35、＋

36、c

37、答案　D解析　

38、a

39、－

40、c

41、≤

42、a－c

43、<

44、b

45、，即

46、a

47、<

48、b

49、＋

50、c

51、，故选D.5．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．答案　9解析　解法一：

52、把a＋b＋c＝1代入＋＋，得＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．解法二：由柯西不等式得：(a＋b＋c)≥2，即＋＋≥9.6．[2017·全国卷Ⅱ]已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b

53、)＝2＋，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.板块二　典例探究·考向突破考向　比较法证明不等式例　1　[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，

54、a＋b

55、<

56、1＋ab

57、.解　(1)f(x)＝当x≤－时，由f(x)<2，得－2x<2，解得x>－1，即－1

58、－1

59、a，b∈M时，－1

60、a＋b

61、<

62、1＋ab

63、.触类旁通比较法证明的一般步骤一般步骤：作差—变形—判断—结论．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负．常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法．【