2018版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理（一）学案 新人教A版必修5.doc

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1、1．1.1　正弦定理(一)[学习目标]　1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一　正弦定理1．正弦定理的表示文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径符号语言在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R2.正弦定理的常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R为△ABC外接圆的半径．(2)sinA＝，sinB＝，sinC

2、＝(R为△ABC外接圆的半径)．(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)＝＝＝.(5)asinB＝bsinA，asinC＝csinA，bsinC＝csinB.3．正弦定理的证明(1)在Rt△ABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，∴c＝＝＝＝，∴＝＝．(2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图，CD＝asin__B＝bsin__A，∴＝，同理，作AC边上的高BE，可得＝，∴＝＝.(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图

3、，过B作BD⊥AC于D，则BD＝asin(π－C)＝asin__C，BD＝csin__A，故有asinC＝csin__A，∴＝，同理，＝，∴＝＝.思考　下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的

4、比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确．故选B.知识点二　解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考　正弦定理能解决哪些问题？答案　利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．题型一　对正弦定理的理解例1　在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是

5、(　　)A．a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．a＝b⇔sin2A＝sin2BC.＝D．正弦值较大的角所对的边也较大答案　B解析　在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝k(k>0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，故a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，故A正确．当A＝30°，B＝60°时，sin2A＝sin2B，此时a≠b，故B错误．根据比例式的性质易得C正确．大边对大角，故D正确．反思与感悟　(1)定理的内容：＝＝＝2R，在运用正弦定理进行判断时，要灵活使用定理的各种变形．(2)如果＝

6、，那么＝(b，d≠0)(合比定理)；＝(b，d≠0)(分比定理)；＝(a>b，c>d)(合分比定理)；可以推广为：如果＝＝…＝，那么＝＝…＝＝.跟踪训练1　在△ABC中，下列关系一定成立的是(　　)A．a>bsinAB．a＝bsinAC．a

7、5°，a＝2，解这个三角形．解　(1)∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由＝得a＝＝＝10.∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝，∴b＝＝＝＝20×＝5＋5.∴B＝105°，a＝10，b＝5＋5.(2)∵＝，∴sinC＝＝＝，∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝1

8、20°.反思与感悟　(1)已知两角与任意一边解三角形的方法．首先由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，再由正弦定理可计算出三角形的另两边．(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法．首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分