电容器的充电和放电理论计算&仿真&实验验证.pdf

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1、原创文档作者：HsinTsao 电容器的充电和放电理论计算&仿真&实验验证将电容C、电阻R和电动势为ε的电源以及刀键SW连成图1.1的所示的电路。当SW与a端接触时电容器充电，其电量从零开始增大。充电完毕后，将SW倒向和b端接触，电容器又通过电阻R放电，其电量又逐渐减小。--->--->iabiSWεR--->--->ii--->i--->i+qCu-qi--->i--->0图1.1 充电情形：设在充电的某一时刻电流为i，电容器上的电量为q，电容两极间电压为u，则在此时刻，整个回路以电流方向为正方向（红色标示的方向）的基尔霍夫定律[KVL]有以下方程iRu0(1.1)在充电过

2、程中电容器上的电量的增加是电流输入电荷的结果，而且在单位时间内电量的增加就等于电流，即dqi(1.2)dt电容器上电压u与电量q的关系为qu(1.3)c将（1.2）和（1.3）式代入(1.1)式dqqR(1.4)dtc结合起始条件t=0时，q=0,可解得tRCqC(1e)(1.5)1 / 10原创文档作者：HsinTsao 并可由此得tdqieRC(1.6)dtRtqRCue(1)(1.7)C以下为对(1.5)等式的推导过程为使整个推导过程清晰和方便阅读，现将(1.4)式重写如下dqqR(1.4)dtc对上式等号两边同时乘以C（C为电容器容量）

3、，dqRCqC(1.8)dt对(1.8)式移项变换得dqRCCqdt11dqdt(1.9)CqRC对(1.9)式等式两边取积分11dqdt(1.10)CqRC求解(1.10)等式的右半部分不定积分得1tdtM（注：M为常数项）(1.11)RCRC11dy求解(1.10)等式的左半部分不定积分：令，则yCq，1Cqydq2 / 10原创文档作者：HsinTsao 1111dq(1)Cqdq)'(1)dydyCqCqyyln

4、

5、yNln

6、CqN

7、1即dqln

8、CqN

9、（注：

10、N为常数项）(1.12)Cq由(1.10)、(1.11)和(1.12)有tMln

11、CqN

12、RCt即ln

13、Cq

14、MN（注：M、N为常数项）(1.13)RC因为CqCuCCu()且u（u为电容器两极的电压,不可能超过电动势为ε的电源），所以Cq0t()MNCqeRC（注：M、N为常数项）(1.14)结合给出的初始条件电容器在t=0时,q=0,代入(1.14)得0()MNCe0RC()MNeC(1.15)如果初始条件电容器在t=0时，q=Q0(即电容器初始电压不为零，设为U0=Q0/C，由(1.14)有

15、()MNeCQ0(1.16)据(1.14)和(1.15)式可求得（初始条件t=0时,q=0，即电容器两极的电压为零）ttt()MN[(MN)]RCRCRC()MNqCeCeCeettCeRCCCe(1RC)tRC即qC(1e)(1.5)推导完成3 / 10原创文档作者：HsinTsao 据(1.14)和(1.16)式可求得（初始条件t=0时，q=Q0，即电容器两极的电压不为零）ttqCeRC()CQ(CQ)(1)eRCQ000(1.17_1)ttqQQue()0(1RC)0

16、()uu(1eRC)(1.17_2)t00CCC据（1.5）、（1.6）和（1.7）式分析（为方便阅读分析重写以上表达式如下）：tqC(1eRC)(1.5)tdqieRC(1.6)dtRtqRCue(1)(1.7)C由以上三式可知，电量、电流和电压均按指数规律变化，电量由零增大到最大值Q=Cε，电流由最大值ε/R减小到零，电容器两端电压由零增大到最大值u=ε。变化的快慢由乘积RC决定，这一乘积叫做电路的时间常量。以τ表示时间常量，τ=RC。τ的意义表示当经过时间τ时，电量将增大到与最大值的差值为最大值的1/e倍（约37%），而电流减小到它的最大值的1

17、/e倍。从（1.5）、（1.6）和（1.7）式来看，只有当t→∞时，电量、电压才能达到最大值，而-104电流才减小到零。但是实际上，当t=10τ时，由于e≈1/(2X10),电量、电压已增大到离最大值不到它的二万分之一，而电流已降到了初值的二万分之一以下。实际上可以认为充电完毕。放电情形：图1.1中电容充电至带电量为Q后，如果将SW倒向b边，则电容器开始放电。以电流方向为回路的正方向（绿色标示的方向），在电容的电量为q而电流为i时的基尔霍夫第二