高中数学1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 周期性 课件新课标人教A版必修4.ppt

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1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质问题提出问题1.根据正弦函数和余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx函数的周期性一、周期函数的概念思考1：观察上图,正弦曲线每相隔个单位重复出现..y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2π诱导公式其理论依据是什么？当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化

2、规律思考2：设f(x)=sinx，则可以怎样表示？f(x+2kπ)=f(x)这就是说：当自变量x的值增加到x+2kπ时，函数值重复出现.为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期(其中k∈z且k≠0).思考3：把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期

3、.思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？答：周期函数的周期不止一个.±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.【最小正周期】如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.今后本书中所涉及到

4、的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.【最小正周期】如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.答：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2π思考5：我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗？若有

5、，那么最小正周期T等于多少？正弦函数y=sinx是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期T=2π．余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是周期，最小正周期T=2π．思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx二：周期概念的拓展思考1：判断下列说法是否正确思考2：周期函数的定义域有什么特点？①函数f(x)=sinx（x≥0）是周期函数()②函数f(x

6、)=sinx（x＜0）是周期函数()③函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是周期函数()④函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]是周期函数()╳╳╳╳例1求下列函数的周期：⑴y=3cosx,x∈R;⑵y=sin2x,x∈R;⑶y=2sin(-),x∈R;∵3cos(x+2π)=∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π【解】⑴3cosx⑵y=sin2x,x∈R;∵sin2(x+π)=∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为πsin2xsin(2x+2π)=解：⑶y=2sin(-),x∈R;∴由周期函数

7、的定义可知，原函数的周期为4π解：一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期是多少?由上例知函数y=3cosx的周期T=2π；函数y=sin2x的周期T=π；函数y=2sin(-)的周期T=4π想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？〖分析〗由已知有：f(x＋2)=-f(x)∴f(x+4)=即f(x＋4)=f(x)∴由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.f(x)=-[-f(x

8、)]=-f(x＋2)f[(x＋2)+2]=如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.归纳整理1.说说周期函数的定义.3.什么叫周期函数的最小正周期？2.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据